Question

18．如图，已知矩形ABCD（AB＜AD）．
（1）请用直尺和圆规按下列步骤作图，保留作图痕迹；
①以点A为圆心，以AD的长为半径画弧交边BC于点E，连接AE；
②作∠DAE的平分线交CD于点F；
③连接EF；
（2）在（1）作出的图形中，若AB=8，AD=10，则tan∠FEC的值为$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 （1）根据题目要求作图即可；
（2）由（1）知AE=AD=10、∠DAF=∠EAF，可证△DAF≌△EAF得∠D=∠AEF=90°，即可得∠FEC=∠BAE，从而由tan∠FEC=tan∠BAE=$\frac{BE}{AB}$可得答案．

解答 解：（1）如图所示；


（2）由（1）知AE=AD=10、∠DAF=∠EAF，
∵AB=8，
∴BE=$\sqrt{A{E}^{2}-A{B}^{2}}$=6，
在△DAF和△EAF中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AD=AE}\\{∠DAF=∠EAF}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△DAF≌△EAF（SAS），
∴∠D=∠AEF=90°，
∴∠BEA+∠FEC=90°，
又∵∠BEA+∠BAE=90°，
∴∠FEC=∠BAE，
∴tan∠FEC=tan∠BAE=$\frac{BE}{AB}$=$\frac{6}{8}$=$\frac{3}{4}$，
故答案为：$\frac{3}{4}$．

点评 本题主要考查作图-基本作图及全等三角形的判定与性质、解直角三角形，熟练掌握角平分线的尺规作图和全等三角形的判定与性质是解题的关键．