Question

18．如图，△ABC是等边三角形，点D是BC上的点，点E是射线CN上的点，且CN∥AB，联结AD、AE、DE
（1）当∠DAE=60°时，求证：∠ADE是等边三角形；
（2）当∠ADE=60°时，“△ADE是等边三角形”还成立吗？若成立请证明，若不成立，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形的性质得到AB=AC，∠BAC=∠B=60°，由平行线的性质得到∠ACE=∠BAC，等量代换得到∠BAD=∠CAE，根据全等三角形的性质得到AD=AE，于是得到结论；
（2）在AB上截取AM=CD，连接DM，得到△BDM是等边三角形，求得∠BMD=∠BDM=60°根据三角形的内角和和平角的定义得到∠1=∠2，推出∠AMD=∠DCE=120°，根据全等三角形的性质得到AD=DE，于是得到结论．

解答 （1）证明：△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=∠B=60°，
∵CN∥AB，
∴∠ACE=∠BAC，
∴∠B=∠ACE，
∵∠DAE=60°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD与△ACE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠ACE}\\{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE，
∴AD=AE，
∴△DAC是等边三角形；

（2）成立，在AB上截取AM=CD，连接DM，
∵AB=BC，
∴BM=BD，
∵∠B=60°，
∴△BDM是等边三角形，
∴∠BMD=∠BDM=60°，
∴∠AMD=120°，
∴∠1+∠ADB=180°-60°=120°，
∠2+∠ADB=120°，
∴∠1=∠2，
∵CN∥AB，
∴∠ACE=∠BAC=60°，
∴∠AMD=∠DCE=120°，
在△AMD与△DEC中$\left\{\begin{array}{l}{∠2=∠1}\\{AM=DC}\\{∠AMD=∠DCE}\end{array}\right.$，
∴△AMD≌△DCE，
∴AD=DE，
∵∠DAE=60°，
∴△ADE是等边三角形．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，平行线的性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．