Question

10．设a，b是关于x的方程kx²+2（k-3）x+（k-3）=0（k是非负整数）的两个不相等的实数根，一次函数y=（k-2）x+m与反比例函数y=$\frac{n}{x}$的图象都经过点（a，b）．
（1）求k的值；
（2）求一次函数和反比例函数的表达式．

Answer 1

分析 （1）根据题意得：k≠0，k-2≠0，k＞0，得出k≠0，k≠2，△=4（k-3）²-4k（k-3）＞0，求出k=1；
（2）把k=1代入方程得x²-4x-2=0，求出a+b=4，ab=-2，根据函数的交点得出ab=n，b=-a+m，即可求出n=-2，m=4，即可得出答案．

解答 解：（1）根据题意得：k≠0，k-2≠0，k＞0，
即k≠0，k≠2，
△=4（k-3）²-4k（k-3）＞0，
k＜3，
∵k为非负整数，
∴k只能是1，
即k=1，
（2）把k=1代入方程kx²+2（k-3）x+（k-3）=0得：方程为x²-4x-2=0，
∵a，b是关于x的一元二次方程kx²+2（k-3）x+（k-3）=0的两个根，
∴a+b=4，ab=-2，
∵（a，b）是一次函数y=（k-2）x+m与反比例函数y=$\frac{n}{x}$图象的交点，
∴ab=n，b=-a+m，
即a+b=m，
∴n=-2，m=4，
∴一次函数的解析表达式是y=-x+4，反比例函数的解析表达式是y=-$\frac{2}{x}$．

点评 本题考查了根与系数的关系，根的判别式，用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式的应用，主要考查学生的计算能力，有一定的难度．