Question

13．如图，已知抛物线与x轴只有一个交点A（-2，0），与y轴交于点B（0，4）．
（1）求抛物线对应的函数解析式；
（2）过点B作平行于x轴的直线交抛物线与点C．
①若点M在抛物线的AB段（不含A、B两点）上，求四边形BMAC面积最大时，点M的坐标；
②在平面直角坐标系内是否存在点P，使以P、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形，若存在直接写出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知可设抛物线对应函数的解析式为：y=a（x+2）²（a≠0），把点B坐标代入求出a即可．
（2）①）①如图1中，设点M的坐标为（m，（m+2）²），其中-2＜m＜0，则N点坐标（m，0）．若要四边形BMAC的面积最大，只要BMA的面积最大即可，构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．
（3）有三种情形，先画出图形，利用中点坐标公式一一求解即可．

解答 解：（1）由已知可设抛物线对应函数的解析式为：y=a（x+2）²（a≠0），
∵抛物线与y轴交于点B（0，4）
∴4=a（0+2）²
解得：a=1
∴抛物线对应的解析式为：y=（x+2）²．

（2）①如图1中，设点M的坐标为（m，（m+2）²），其中-2＜m＜0，
则N点坐标（m，0）．

∵A、B、C是定点，
∴若要四边形BMAC的面积最大，
只要BMA的面积最大即可．
过M做MN⊥x轴于点N，则
S_△AOB=$\frac{1}{2}$OA•OB=$\frac{1}{2}$×2×4=4
S_△AMN=$\frac{1}{2}$AN•MN=$\frac{1}{2}$×[m-（-2）]×（m+2）²=$\frac{1}{2}$（m+2）³
S_梯形ONMB=$\frac{1}{2}$ON（MN+OB）
=$\frac{1}{2}$×（-m）×[（m+2）²+4]
=-$\frac{1}{2}$（m³+4m²+8m）
∴S_△AMB=S_△AOB-S_△AMN-S_梯形ONMB
=4-$\frac{1}{2}$（m+2）³-[-$\frac{1}{2}$（m³+4m²+8m）]
=-m²-2m，
当m=-1时，S_△AMB最大，
∵（-1+2）²=1
∴此时点M的坐标为（-1，1）．
②存在．如图2中，

∵四边形ABP₁C是平行四边形，
∴FC=FB，AF=FP₁，
∵B（0，4），C（-4，4），
∴F（-2，4），
设P₁（x，y），则有$\frac{-2+x}{2}$=-2，$\frac{0+y}{2}$=4，
∴x=-2，y=8，
∴P₁（-2，8），同法可得P₂（-6，0），P₃（2，0）．
所有满足条件的点P的坐标是（2，0）、（-6，0）、（-2，8）．

点评 本题考查二次函数综合题、平行四边形的判定和性质、中点坐标公式、待定系数法等知识，解题的关键是灵活应用顶点式确定函数解析式，学会根据二次函数解决最值问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．