Question

8．如图，已知BC是以AB为直径的⊙O的切线，且BC=AB，连接OC交⊙O于点D，延长AD交BC于点E，F为BE的中点．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若OB=1，求DF的长．

Answer 1

分析 （1）连接BD，根据等边对等角可得∠FDB=∠FBD，∠ODB=∠OBD，然后根据切线的性质即可证得；
（2）证明△CDF∽△CBO，利用相似三角形的对应边的比相等求得BC的长，然后在直角△OBC中利用勾股定理求解．

解答 （1）证明：连接BD，
∵AB是直径，
∴∠BDA=90°，
∴∠BDE=90°，
又∵F为BE的中点，
∴EF=BF=DF，
∴∠FBD=∠FDB，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD，
∵BC是⊙O的切线，AB是直径，
∴AB⊥BC，
∴∠FBD+∠OBD=90°，
∴∠FDO=∠FDB+∠ODB=∠FBD+∠OBD=90°，

∴OD⊥DF，
∴DF是圆的切线；
（2）解：在△CDF和△CBO中
∵∠FDO═∠CBO，
∠C=∠C
∴△CDF∽△CBO，
∴$\frac{DF}{OB}$=$\frac{CD}{CB}$，
∵BC=AB=2OB=2，
∴DF=$\frac{1}{2}$CD，
在直角△OBC中，由勾股定理得，OC=$\sqrt{C{B}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴CD=$\sqrt{5}$-1，
∴DF=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

点评 本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质等知识点．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．