Question

如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接BE．
（1）求证：BE与⊙O相切；
（2）设OE交⊙O于点F，若DF=2，BC=4

3

，求由劣弧BC、线段CE和BE所围成的图形面积S．

Answer 1

考点：切线的判定,扇形面积的计算

专题：证明题

分析：（1）连接OC，如图，根据垂径定理由OD⊥BC得到CD=BD，则OE为BC的垂直平分线，所以EB=EC，根据等腰三角形的性质得∠EBC=∠ECB，加上∠2=∠1，则∠OBE=∠OCE；再根据切线的性质得∠OCE=90°，所以∠OBE=90°，然后根据切线的判定定理得BE与⊙O相切；
（2）设⊙O的半径为R，则OD=R-DF=R-2，OB=R，在Rt△OBD，利用勾股定理得（R-2）²+（2

3

）²=R²，解得R=4，即OD=2，OB=4，根据含30度的直角三角形三边的关系得到∠OBD=30°，则∠BOD=60°，在Rt△OBE中，计算BE=

3

OB=4

3

，然后根据扇形面积公式和S_阴影=S_{四边形OBEC}-S_扇形OBC进行计算．

解答：（1）证明：连接OC，如图，
∵OD⊥BC，
∴CD=BD，
∴OE为BC的垂直平分线，
∴EB=EC，
∴∠EBC=∠ECB，
∵OB=OC，
∴∠2=∠1，
∴∠2+∠EBC=∠1+∠ECB，即∠OBE=∠OCE，
∵CE为⊙O的切线，
∴OC⊥CE，
∴∠OCE=90°，
∴∠OBE=90°，
∴OB⊥BE，
∴BE与⊙O相切；
（2）解：设⊙O的半径为R，则OD=R-DF=R-2，OB=R，
在Rt△OBD中，BD=

1

2

BC=2

3

，
∵OD²+BD²=OB²，
∴（R-2）²+（2

3

）²=R²，解得R=4，
∴OD=2，OB=4，
∴∠OBD=30°，
∴∠BOD=60°，
在Rt△OBE中，BE=

3

OB=4

3

，
∴S_阴影=S_{四边形OBEC}-S_扇形OBC
=2×

1

2

×4×4

3

-

120•π•42

360

=16

3

-

16π

3

．

点评：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了垂径定理和扇形面积的计算．