题目内容
如图，已知l1⊥l2，⊙O与l1，l2都相切，⊙O的半径为1cm，矩形ABCD的边AD、AB分别与l1，l2重合，AB=2
cm，AD=2cm，若⊙O与矩形ABCD沿l1同时向右移动，⊙O的移动速度为2cm/s，矩形ABCD的移动速度为3cm/s，设移动时间为t（s）
（1）如图①，连接OA、AC，则∠OAC的度数为 °；
（2）如图②，两个图形移动一段时间后，⊙O到达⊙O1的位置，矩形ABCD到达A1B1C1D1的位置，此时点O1，A1，C1恰好在同一直线上，求圆心O移动的距离（即OO1的长）；
（3）在移动过程中，圆心O到矩形对角线AC所在直线的距离在不断变化，设该距离为d（cm），当d＜1时，求t的取值范围（解答时可以利用备用图画出相关示意图）．
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（1）如图①，连接OA、AC，则∠OAC的度数为
（2）如图②，两个图形移动一段时间后，⊙O到达⊙O1的位置，矩形ABCD到达A1B1C1D1的位置，此时点O1，A1，C1恰好在同一直线上，求圆心O移动的距离（即OO1的长）；
（3）在移动过程中，圆心O到矩形对角线AC所在直线的距离在不断变化，设该距离为d（cm），当d＜1时，求t的取值范围（解答时可以利用备用图画出相关示意图）．
考点：圆的综合题
专题：
分析：（1）利用切线的性质以及锐角三角函数关系分别求出∠OAD=45°，∠DAC=60°，进而得出答案；
（2）首先得出，∠C1A1D1=60°，再利用A1E=AA1-OO1-1=t-1，求出t的值，进而得出OO1=2t得出答案即可；
（3）①当直线AC与⊙O第一次相切时，设移动时间为t1，②当直线AC与⊙O第二次相切时，设移动时间为t2，分别求出即可．
（2）首先得出，∠C1A1D1=60°，再利用A1E=AA1-OO1-1=t-1，求出t的值，进而得出OO1=2t得出答案即可；
（3）①当直线AC与⊙O第一次相切时，设移动时间为t1，②当直线AC与⊙O第二次相切时，设移动时间为t2，分别求出即可．
解答：解：（1）∵l1⊥l2，⊙O与l1，l2都相切，
∴∠OAD=45°，
∵AB=2
cm，AD=2cm，
∴CD=2
cm，
∴tan∠DAC=
=
，
∴∠DAC=60°，
∴∠OAC的度数为：∠OAD+∠DAC=105°，
故答案为：105；
（2）如图位置二，当O1，A1，C1恰好在同一直线上时，设⊙O1与l1的切点为E，
连接O1E，可得O1E=1，O1E⊥l1，
在Rt△A1D1C1中，∵A1D1=2
cm，C1D1=2cm，
∴tan∠C1A1D1=
，∴∠C1A1D1=60°，
在Rt△A1O1E中，∠O1A1E=∠C1A1D1=60°，
∴A1E=
=
，
∵A1E=AA1-OO1-1=t-1，
∴t-1=
，
∴t=
+1，
∴OO1=2t=
+2；
（3）①当直线AC与⊙O第一次相切时，设移动时间为t1，
如图，此时⊙O移动到⊙O2的位置，矩形ABCD移动到A2B2C2D2的位置，
设⊙O2与直线l1，A2C2分别相切于点F，G，连接O2F，O2G，O2A2，
∴O2F⊥l1，O2G⊥A2C2，
由（2）得，∠C2A2D2=60°，
∴∠GA2F=120°，
∴∠O2A2F=60°，
在Rt△A2O2F中，O2F=1，∴A2F=
，
∵OO2=2t1，AF=AA2+A2F=t1+
，
∴2t1+
-t1=1，
∴t1=1-
，
②当直线AC与⊙O第二次相切时，设移动时间为t2，
记第一次相切时为位置一，点O1，A1，C1共线时位置二，第二次相切时为位置三，
由题意知，从位置一到位置二所用时间与位置二到位置三所用时间相等，
∴
+1-（1-
）=t2-（
+1），
解得：t2=
+1，
综上所述，当d＜1时，t的取值范围是：1-
＜t＜
+1．
∴∠OAD=45°，
∵AB=2
| 3 |
∴CD=2
| 3 |
∴tan∠DAC=
| DC |
| AD |
| 3 |
∴∠DAC=60°，
∴∠OAC的度数为：∠OAD+∠DAC=105°，
故答案为：105；
（2）如图位置二，当O1，A1，C1恰好在同一直线上时，设⊙O1与l1的切点为E，
连接O1E，可得O1E=1，O1E⊥l1，
在Rt△A1D1C1中，∵A1D1=2
| 3 |
∴tan∠C1A1D1=
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在Rt△A1O1E中，∠O1A1E=∠C1A1D1=60°，
∴A1E=
| 1 |
| tan60° |
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∵A1E=AA1-OO1-1=t-1，
∴t-1=
| ||
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∴t=
| ||
| 3 |
∴OO1=2t=
2
| ||
| 3 |
（3）①当直线AC与⊙O第一次相切时，设移动时间为t1，
如图，此时⊙O移动到⊙O2的位置，矩形ABCD移动到A2B2C2D2的位置，
设⊙O2与直线l1，A2C2分别相切于点F，G，连接O2F，O2G，O2A2，
∴O2F⊥l1，O2G⊥A2C2，
由（2）得，∠C2A2D2=60°，
∴∠GA2F=120°，
∴∠O2A2F=60°，
在Rt△A2O2F中，O2F=1，∴A2F=
| ||
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∵OO2=2t1，AF=AA2+A2F=t1+
| ||
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∴2t1+
| ||
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∴t1=1-
| ||
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②当直线AC与⊙O第二次相切时，设移动时间为t2，
记第一次相切时为位置一，点O1，A1，C1共线时位置二，第二次相切时为位置三，
由题意知，从位置一到位置二所用时间与位置二到位置三所用时间相等，
∴
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解得：t2=
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综上所述，当d＜1时，t的取值范围是：1-
| ||
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点评：此题主要考查了切线的性质、切线长定理、锐角三角函数、矩形的性质等知识以及分类讨论的数学思想，其中利用一条线段的两种表示方法建立关于t的方程是解决第（2）小题与第（3）小题的关键．
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| A、x2=x |
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