Question

在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=-

1

2

x²+

3

2

x+2的图象与x轴交于点A，B（点B在点A的左侧），与y轴交于点C．过动点H（0，m）作平行于x轴的直线l，直线l与二次函数y=-

1

2

x²+

3

2

x+2的图象相交于点D，E．
（1）写出点A，点B的坐标；
（2）若m＞0，以DE为直径作⊙Q，当⊙Q与x轴相切时，求m的值；
（3）直线l上是否存在一点F，使得△ACF是等腰直角三角形？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：代数几何综合题

分析：（1）A、B两点的纵坐标都为0，所以代入y=0，求解即可．
（2）由圆和抛物线性质易得圆心Q位于直线与抛物线对称轴的交点处，则Q的横坐标为

3

2

，可推出D、E两点的坐标分别为：（

3

2

-m，m），（

3

2

+m，m）．因为D、E都在抛物线上，代入一点即可得m．
（3）使得△ACF是等腰直角三角形，重点的需要明白有几种情形，分别以三边为等腰三角形的两腰或者底，则共有3种情形；而三种情形中F点在AC的左下或右上方又各存在2种情形，故共有6种情形．求解时．利用全等三角形知识易得m的值．

解答：解：（1）当y=0时，有-

1

2

x2+

3

2

x+2=0，
解得：x₁=4，x₂=-1，
∴A、B两点的坐标分别为（4，0）和（-1，0）．

（2）∵⊙Q与x轴相切，且与y=-

1

2

x2+

3

2

x+2交于D、E两点，
∴圆心Q位于直线与抛物线对称轴的交点处，
∵抛物线的对称轴为x=-

3 2

2×(- 1 2 )

=

3

2

，⊙Q的半径为H点的纵坐标m（m＞0），
∴D、E两点的坐标分别为：（

3

2

-m，m），（

3

2

+m，m）
∵E点在二次函数y=-

1

2

x2+

3

2

x+2的图象上，
∴m=-

1

2

×(

3

2

+m)2+

3

2

×(

3

2

+m)+2，
解得m=

29

2

-1或m=-

29

2

-1（不合题意，舍去）．

（3）存在．
①如图1，

当∠ACF=90°，AC=FC时，过点F作FG⊥y轴于G，
∴∠AOC=∠CGF=90°，
∵∠ACO+∠FCG=90°，∠GFC+∠FCG=90°，
∴∠ACO=∠CFG，
∴△ACO≌△CFG，
∴CG=AO=4，
∵CO=2，
∴m=OG=2+4=6；
反向延长FC，使得CF=CF′，此时△ACF′亦为等腰直角三角形，
易得y_C-y_F′=CG=4，
∴m=CO-4=2-4=-2．
②如图2，

当∠CAF=90°，AC=AF时，过点F作FP⊥x轴于P，
∵∠AOC=∠APF=90°，∠ACO+∠OAC=90°，∠FAP+∠OAC=90°，
∴∠ACO=∠FAP，
∴△ACO≌△∠FAP，
∴FP=AO=4，
∴m=FP=4；
反向延长FA，使得AF=AF′，此时△ACF’亦为等腰直角三角形，
易得y_A-y_F′=FP=4，
∴m=0-4=-4．
③如图3，

当∠AFC=90°，FA=FC时，则F点一定在AC的中垂线上，此时存在两个点分别记为F，F′，
分别过F，F′两点作x轴、y轴的垂线，分别交于E，G，D，H．
∵∠DFC+∠CFE=∠CFE+∠EFA=90°，
∴∠DFC=∠EFA，
∵∠CDF=∠AEF，CF=AF，
∴△CDF≌△AEF，
∴CD=AE，DF=EF，
∴四边形OEFD为正方形，
∴OA=OE+AE=OD+AE=OC+CD+AE=OC+2CD，
∴4=2+2•CD，
∴CD=1，
∴m=OC+CD=2+1=3．
∵∠HF′C+∠CGF′=∠CF′G+∠GF′A，
∴∠HF′C=∠GF′A，
∵∠HF′C=∠GF′A，CF′=AF′，
∴△HF′C≌△GF′A，
∴HF′=GF′，CH=AG，
∴四边形OHF′G为正方形，
∴OH=CH-CO=AG-CO=AO-OG-CO=AO-OH-CO=4-OH-2，
∴OH=1，
∴m=-1．
∵y=-

1

2

x²+

3

2

x+2=-

1

2

（x-

3

2

）²+

25

8

，
∴y的最大值为

25

8

．
∵直线l与抛物线有两个交点，∴m＜

25

8

．
∴m可取值为：-4、-2、-1或3．
综上所述，直线l上存在一点F，使得△ACF是等腰直角三角形，m的值为-4、-2、-1或3．

点评：本题难度适中，考查的主要是二次函数、圆、等腰直角三角形及全等三角形性质，但是最后一问情形较多不易找全，非常锻炼学生的全面思考．