Question

18．如图，某校园内有一块菱形的空地ABCD，为了美化环境，现要进行绿化，计划在中间建设一个面积为S的矩形绿地EFGH．其中，点E、F、G、H分别在菱形的四条边上，AB=a米，BE=BF=DG=DH=x米，∠A=60°
（1）求S关于x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（2）若a=100，求S的最大值，并求出此时的值；
（3）若S的最大值是10000$\sqrt{3}$，则a至少要多长？

Answer 1

分析 （1）根据菱形的性质得△AHE是等边三角形，即HE=（a-x）米，过点P作DP⊥HG于点P，则HG=2HP=2DHsin∠HDP=$\sqrt{3}$x米，由矩形面积公式可得；
（2）将a=100代入上式，配方成顶点式可得其最值情况；
（3）将（1）中函数解析式配方后，根据其最值可得关于a的方程，解方程即可得．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD=a米，
∵BE=BF=DH=DG=x米，∠A=60°
∴AE=AH=（a-x）米，∠ADC=120°，
∴△AHE是等边三角形，即HE=（a-x）米，
如图，过点P作DP⊥HG于点P，

∴HG=2HP，∠HDP=$\frac{1}{2}$∠ADC=60°，
则HG=2HP=2DHsin∠HDP=2x×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$x米，
∴S=$\sqrt{3}$x（a-x）=-$\sqrt{3}$x²+$\sqrt{3}$ax （0＜x＜a）；

（2）当a=100时，S=-$\sqrt{3}$x²+100$\sqrt{3}$x=-$\sqrt{3}$（x-50）²+2500$\sqrt{3}$，
∴当x=50时，S取得最大值，最大值为2500$\sqrt{3}$．

（3）S=-$\sqrt{3}$x²+$\sqrt{3}$ax=-$\sqrt{3}$（x-$\frac{a}{2}$）²+$\frac{\sqrt{3}}{4}$a²，
根据题意，得：$\frac{\sqrt{3}}{4}$a²=10000$\sqrt{3}$，
解得：a=200或a=-200（舍），
故a至少需要200米．

点评 本题主要考查二次函数的实际应用，根据菱形的性质及等腰三角形性质、三角函数表示出矩形的长宽是求得函数解析式的前提，熟练掌握二次函数的性质是求函数最值的关键．