Question

9．某公司经过市场调查发现，该公司生产的某商品在第x天的销售单价为（x+20）元/件（1≤x≤50），且该商品每天的销量满足关系式y=200-4x．已知该商品第10天的售价按8折出售，仍然可以获得20%的利润．
（1）求公司生产该商品每件的成本为多少元？
（2）问销售该商品第几天时，每天的利润最大？最大利润是多少？
（3）该公司每天还需要支付人工、水电和房租等其它费用共计a元，若公司要求每天的最大利润不低于2200元，且保证至少有46天盈利，则a的取值范围是0＜a≤300（直接写出结果）．

Answer 1

分析 （1）设该公司生产每件商品的成本为a元，根据：实际售价-成本=利润，列出方程，解方程可得；
（2）根据：每天利润=单件利润×每天销售量列出函数关系式，配方成顶点式可得函数的最值情况；
（3）根据（2）中每天利润减去每天开支a元列出函数关系式P=-4（x-25）²+2500-a，根据每天的最大利润不低于2200元可得关于a的不等式，解不等式可得a的取值范围，再由至少有46天盈利可知-4x²+200x-a=0的两根x₁、x₂间距离x₁-x₂≥46，根据韦达定理可得关于a的不等式，求得a的范围，综合上述情况确定a的范围．．

解答 解：（1）设该公司生产每件商品的成本为a元，根据题意，
得：0.8×（10+20）-a=0.2a，
解得：a=20，
故该公司生产每件商品的成本为20元；

（2）设第x天的销售利润为W，
则：W=（x+20-20）（-4x+200）=-4x²+200x=-4（x-25）²+2500，
∴当x=25时，W取得最大值，最大值为2500元，
故问销售该商品第25天时，每天的利润最大，最大利润是2500元；

（3）记公司每天控制人工、水电和房租支出共计a元后利润为P，
则P=-4（x-25）²+2500-a，
根据题意：2500-a≥2200，
解得：a≤300，
又∵至少有46天的盈利，
∴-4x²+200x-a=0的两根x₁、x₂间距离x₁-x₂≥46，
∴（x₁-x₂）²≥46²，即（x₁+x₂）²-4x₁x₂≥46²，
∵x₁+x₂=50，x₁x₂=$\frac{a}{4}$，
∴50²-4×$\frac{a}{4}$≥46²，解得：a≤384，
综上，0＜a≤300，
故答案为：0＜a≤300．

点评 本题主要考查二次函数的实际应用能力，明确不等关系并据此列出方程或函数关系式是解题基础，根据题意挖掘出不等关系求a的范围是关键．