已知抛物线L1:y1=x2+6x+5k和抛物线L2:y2=kx2+6kx+5k.其中k≠0．(1)下列说法你认为正确的序号是①③④,①抛物线L1和L2与y轴交于同一点F,②抛物线L1和L2开口都向上,③抛物线L1和L2的对称轴是同一条直线,④当k＜-1时.抛物线L1和L2都与x轴有两个交点(2)抛物线L1和L2相交于点E.F.当k的值发生变化时.请判断线段EF的长度是否发� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

13．

已知抛物线L₁：y₁=x²+6x+5k和抛物线L₂：y₂=kx²+6kx+5k，其中k≠0．
（1）下列说法你认为正确的序号是①③④；
①抛物线L₁和L₂与y轴交于同一点F（0，5k）；
②抛物线L₁和L₂开口都向上；
③抛物线L₁和L₂的对称轴是同一条直线；
④当k＜-1时，抛物线L₁和L₂都与x轴有两个交点
（2）抛物线L₁和L₂相交于点E、F，当k的值发生变化时，请判断线段EF的长度是否发生变化，并说明理由；
（3）在（2）中，若抛物线L₁的顶点为M，抛物线L₂的顶点为N，问是否存在实数k，使MN=2EF？如存在，求出实数k；如不存在，请说明理由．

分析（1）①分别把y=0代入即可；
②根据二次项系数进行判断；
③抛物线的对称轴是：x=-$\frac{b}{2a}$，代入计算即可；
④根据△=b²-4ac来判断；
（2）由对称性可知：两条抛物线相交的另一个交点E与点F的纵坐标相等，由F（0，5k）得：E（-6，5k），则EF就等于0-（-6）=6，所以线段EF=6；
（3）存在实数k，使MN=2EF，
利用配方法分别求M、N的坐标，根据两点的距离得：MN的长，利用MN=2EF解方程即可．

解答解：（1）①∵抛物线L₁：y₁=x²+6x+5k经过（0，5k），抛物线L₂：y₂=kx²+6kx+5k经过（0，5k），
∴抛物线L₁和L₂与y轴交于同一点F（0，5k）；
所以①结论正确；
②抛物线L₁：a=1＞0，则抛物线开口向下，
抛物线L₂：k不确定为正数或负数，则抛物线的开口也不确定；
所以②结论不正确；
③抛物线L₁：对称轴为直线：x=-$\frac{6}{2×1}$=-3，
抛物线L₂：对称轴为直线：x=-$\frac{6k}{2k}$=-3，
∴抛物线L₁和L₂的对称轴是同一条直线；
所以③结论正确；
（4）抛物线L₁：y₁=x²+6x+5k，
△=6²-4×1×5k=36-20k，
当k＜-1时，△＞0，所以抛物线L₁与x轴有两个交点，
抛物线L₂：y₂=kx²+6kx+5k，
△=（6k）²-4×k×5k=16k²，
当k＜-1时，△＞0，所以抛物线L₂与x轴有两个交点，
所以当k＜-1时，抛物线L₁和L₂都与x轴有两个交点，
所以④结论正确；
故说法正确的序号是：①③④；
故答案为：①③④；
（2）由（1）可知：点F（0，5k）是抛物线L₁和L₂与y轴一个交点，两条抛物线相交的另一个交点E与点F的纵坐标相等，
当k=1时，二次函数L₁和L₂重合，
当k≠1时，k的值变化时，线段EF的长不会变化，
理由是：∵抛物线L₁和L₂的对称轴是同一条直线：直线x=-3，又F（0，5k）；
∴点F关于直线x=-3对称的点E的坐标为E（-6，5k），则EF就等于0-（-6）=6，
所以线段EF=6；
（3）存在实数k，使MN=2EF，
y₁=x²+6x+5k=（x+3）²-9+5k，y₂=kx²+6kx+5k=k（x+3）²-4k，
∴抛物线L₁，顶点M（-3，-9+5k），
抛物线L₂，顶点N（-3，-4k），
由题意得：NM=|-4k-（5k-9）|=2×6，
解得：k₁=$\frac{7}{3}$，k₂=-$\frac{1}{3}$．