Question

15．抛物线y=ax²+bx与直线y=mx+n交于点A（1，0），B（-2，6），点P是直线AB下方抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）PN∥x轴交AB于点N，PQ∥y轴交AB于点Q，以PQ，PN为边的矩形为PNMQ，求矩形PNMQ最大周长；
（3）当PB=PA时，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）将点A、B坐标代入y=ax²+bx求出a、b即可得；
（2）根据A、B坐标求得直线解析式，令Q（x，y₁）、P（x，y₂），得出QP=y₁-y₂=（-2x+2）-（x²-x）=-x²-x+2，由△QPN∽△COA且OA=$\frac{1}{2}$OC知PN=$\frac{1}{2}$PQ=$\frac{1}{2}$（-x²-x+2），根据矩形的周长=2（PQ+PN）列出解析式，并配方即可得最大值；
（3）如图，设P（x，y），知BD=|6-y|、PD=|x+2|、PE=|y|、AE=|1-x|，由PA=PB即BD²+PD²=PE²+AE²得4y-2x-13=0，将y=x²-x代入求得x即可．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²+bx过点A（1，0），B（-2，6），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+b=0}\\{4a-2b=6}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=x²-x；

（2）∵直线y=mx+n过点A（1，0），B（-2，6），
∴$\left\{\begin{array}{l}{m+n=0}\\{-2m+n=6}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-2}\\{n=2}\end{array}\right.$，
∴直线解析式为y=-2x+2，
令Q（x，y₁）、P（x，y₂），
则QP=y₁-y₂=（-2x+2）-（x²-x）=-x²-x+2，
∵直线y=-2x+2与x轴的交点A（1，0）、与y轴的交点（0，2），
∴OA=$\frac{1}{2}$OC，
∵PQ∥y轴，PN∥x轴，
∴△QPN∽△COA，
∴PN=$\frac{1}{2}$PQ=$\frac{1}{2}$（-x²-x+2），
则矩形的周长=2（PQ+PN）=2[-x²-x+2+$\frac{1}{2}$（-x²-x+2）]=-3x²-3x+6=-3（x+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{27}{4}$，
∴矩形周长的最大值为$\frac{27}{4}$；

（3）如图，过点P作PE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，作PD⊥BF于点D，

设P（x，y），
则BD=|6-y|、PD=|x+2|、PE=|y|、AE=|1-x|，
∵PA=PB，
∴BD²+PD²=PE²+AE²，
即（6-y）²+（2+x）²=y²+（1-x）²，
整理，得：4y-2x-13=0，
又y=x²-x，
∴4（x²-x）-2x-13=0，
解得：x₁=$\frac{3-\sqrt{61}}{4}$，x2=$\frac{3+\sqrt{61}}{4}$＞1（舍去），
∴y=$\frac{29-\sqrt{61}}{8}$，
∴点P（$\frac{3-\sqrt{61}}{4}$，$\frac{29-\sqrt{61}}{8}$）．

点评 本题主要考查二次函数的综合问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点是解题的关键．