Question

如图，在等腰梯形ABCD中，∠C=60°，AD∥BC，且AD=DC，E、F分别在AD、DC的延长线上，且DE=CF，AF、BE交于点P．
（1）求证：AF=BE；
（2）请你猜测∠BPF的度数，并证明你的结论；
（3）连接EF，试猜想△PEF能否为等边三角形，并说明理由．

Answer 1

考点：等腰梯形的性质,等边三角形的判定

专题：

分析：（1）根据题意可得出AD=AB，DE=CF，再由等腰梯形的同一底边上的底角相等可得出∠BAE=∠ADF，从而可判断△ABE≌△DAF，也可得出结论；
（2）根据（1）可得∠ABE=∠DAF，再由∠BPF=∠ABE+∠BAP=∠DAF+∠BAF=∠BAE，结合题意可得出答案；
（3）假设△PEF是等边三角形，即可证明△ABP也是等边三角形，则P一定在BC上，AP∥CD，与已知相矛盾，从而证得．

解答：解：（1）由题意得，BA=AD（等量代换），∠BAE=∠ADF（等腰梯形的性质），
又∵AD=DC，DE=CF，
∴AD+DE=DC+CF，
∴AE=DF（等量代换），
在△BAE和△ADF中，

AB=AD ∠BAE=∠ADF AE=DF

，
∴△BAE≌△ADF（SAS），
∴BE=AF（对应边相等）；

（2）∵∠DCB=60°，
∴∠BAE=120°，
由△BAE≌△ADF可得∠ABE=∠DAF，
故可得∠BPF=∠ABE+∠BAF=∠DAF+∠BAF=∠BAE=120°；

（3）△PEF不能是等边三角形．
理由是：根据（2）可知，∠BPF=120°，则∠APB=∠EPF=60°，
若△PEF是等边三角形，则PE=PF，
而根据（1）可得AF=BE，
∴AP=BP，
则△ABP是等边三角形，
又∵等腰梯形ABCD中，∠ABC=∠DCB=60°，
∴P在BC上，且AP∥DC，
则F不存在．
则△PEF不能是等边三角形．

点评：此题考查了等腰梯形的性质、全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是熟练掌握等腰梯形的各个性质，难度一般．