Question

已知函数y₁=ax²与函数y₂=x+

3

2

的图象分别交于点A，B，A的纵坐标为

1

2

．
（1）若y₁＜y₂，试确定自变量x的取值范围．
（2）求△AOB的面积．

Answer 1

考点：二次函数与不等式（组）

专题：

分析：（1）利用直线解析式求出点A的坐标，然后代入抛物线求出a，再联立直线与抛物线解析式求出点B的坐标，然后根据函数图象写出直线在抛物线上方部分的x的取值范围即可；
（2）求出直线与y轴的交点坐标，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解．

解答：解：（1）∵A的纵坐标为

1

2

，
∴x+

3

2

=

1

2

，
解得x=-1，
∴点A的坐标为（-1，

1

2

），
将点A的坐标代入抛物线得，a×（-1）²=

1

2

，
解得a=

1

2

，
所以，二次函数解析式为y₁=

1

2

x²，
联立

y= 1 2 x2 y=x+ 3 2

，
解得

x1=-1 y1= 1 2

，

x2=3 y2= 9 2

，
∴点B的坐标为（3，

9

2

），
∴y₁＜y₂时，-1＜x＜3；

（2）令x=0，则y=

3

2

，
所以，直线与y轴的交点坐标为（0，

3

2

），
所以，△AOB的面积=

1

2

×

3

2

×（3+1）=3．

点评：本题考查了二次函数与不等式，三角形的面积，解题的关键是利用直线解析式求出点A的坐标．