Question

14．以线段AC为对角线的四边形ABCD（它的四个顶点A、B、C、D按顺时针方向排列），已知AB=BC=CD，∠ABC=100°，∠CAD=40°；则∠BCD的大小为80°或100°．

Answer 1

分析 根据等腰三角形的性质和平行线的判定可得AD∥BC，再分2种情况：（1）如图1，过点C分别作CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，通过证明Rt△ACE≌Rt△ACF，Rt△BCE≌Rt△DCF，由全等三角形的性质得到∠2=∠ACD=40°，可得∠BCD=80°；（2）如图2，根据等腰梯形的判定可得四边形ABCD′是等腰梯形，再根据等腰梯形的性质得到∠BCD′=∠ABC=100°，从而求解．

解答 解：∵AB=BC，∠ABC=100°，
∴∠1=∠2=∠CAD=40°，
∴AD∥BC，
（1）如图1，过点C分别作CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，
∵∠1=∠CAD，
∴CE=CF，
在Rt△ACE与Rt△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=AC}\\{CE=CF}\end{array}\right.$，
∴Rt△ACE≌Rt△ACF，
在Rt△BCE与Rt△DCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{CB=CD}\\{CE=CF}\end{array}\right.$，
∴Rt△BCE≌Rt△DCF，
∴∠ACE=∠ACF，∠BCE=∠△DCF，
∴∠2=∠ACD=40°，
∴∠BCD=80°；
（2）如图2，∵AD∥BC，AB=CD′，
∴四边形ABCD′是等腰梯形，
∴∠BCD′=∠ABC=100°．
综上所述，∠BCD=80°或100°．

点评 考查了全等三角形的判定与性质，等腰梯形的判定与性质，本题关键是证明Rt△ACE≌Rt△ACF，Rt△BCE≌Rt△DCF，同时注意分类思想的应用．