Question

11．如图，在等边△ABC中，D、E分别为AB、BC边上的动点，满足AD=2BE，将线段DE绕点E顺时针旋转60°得线段EF，求证：CF平分∠ACB．

Answer 1

分析 根据等边三角形的性质，可得AB与BC的关系，∠B与∠ACB的关系，根据旋转的性质，可得DE与DF的关系，根据三角形外角的性质，可得∠FEM和∠BDE的关系，根据全等三角形的判定与性质，可得∠FME与∠B的关系，FM与BE的关系，根据等腰三角形的性质，可得∠MCF与∠MFC的关系，根据三角形外角的性质，可得∠MCF的大小．

解答 证明：如图，
，
截取CM=BE，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠ACB=60°，AB=BC．
∵AD=2BE=2CM．
∴BD=EM．
∵DE旋转60°得EF，
∴DE=EF，∠DEF=60°．
∵∠DEM是△BDE的外角，
∴∠DEM=∠B+∠BDE．
∵∠DEM=∠DEF+∠FEM．
∴∠BDE=∠MEF．
在△BDE和△MEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=EM}\\{∠BDE=∠MEF}\\{DE=EF}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△MEF（SAS），
∴∠EMF=∠B=60°，MF=BE．
∵MC=BE，
∴MC=MF，
∴∠MFC=∠MCF．
∵∠FME是△MFC的外角，
∴∠MCF+∠MFC=2∠MCF=∠FME=60°，
∴∠MCF=30°=$\frac{1}{2}$∠MCA，
∴CF平分∠ACB．

点评 本题考查了旋转的性质，利用旋转的性质得出DE与DF的关系，利用全等三角形的判定与性质得出∠FME与∠B的关系是解题关键，又利用了等腰三角形的性质，三角形外角的性质．