Question

4．已知一个正比例函数和一个一次函数的图象交于点P（-2，2），且一次函数图象与y轴交于点Q（0，4）．
（1）求这两个函数的解析式；
（2）在同一坐标系中，分别画出这两个函数的图象；
（3）在x轴上找点E，使得PE+QE的值最小，并求出其最小值和点E的坐标．

Answer 1

分析 （1）设正比例函数解析式为y=mx，一次函数解析式为y=nx+4，将（-2，2）代入可得出两个解析式．
（2）运用两点法确定直线所在的位置．
（3）点Q关于x轴的对称点为Q′（0，-4），P、Q′连接P、Q′与x轴的交点为E，根据对称的性质可知QE=Q′E，此时PE+QE的值最小．

解答 解：（1）设正比例函数解析式为y=mx，一次函数解析式为y=nx+4，
将（-2，2）代入可得2=-2m，2=-2n+4，
解得：m=-1，n=1，
∴函数解析式为：y=-x；y=x+4．
（2）根据过点（-2.2）及（0，4）可画出一次函数图象，根据（0，0）及（-2，2）可画出正比例函数图象，如图1所示，

（3）点Q关于x轴的对称点为Q′（0，-4），
P、Q′连接P、Q′与x轴的交点为E，根据对称的性质可知QE=Q′E，此时PE+QE的值最小；
如图2，

设直线P、Q′的函数解析式为：y=kx+b，
把Q′（0，-4），P（-2，2）代入得：
$\left\{\begin{array}{l}{b=-4}\\{-2k+b=2}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-3}\\{b=-4}\end{array}\right.$，
∴y=-3x-4，
当y=0时，-3x-4=0，
解得：x=$-\frac{4}{3}$，
∴点E的坐标为（-$\frac{4}{3}$，0），
PQ′=$\sqrt{（-2-0）^{2}+（2+4）^{2}}$=2$\sqrt{10}$．

点评 本题考查待定系数法的运用，是一道综合性比较强的题目，在解答时注意抓住已知条件．