Question

9．如图所示，将两个直角三角板（一个等腰直角三角形和一个含30°角的直角三角形）拼放在一起．
（1）若CD=1，求AC的长；
（2）若已知AB=a（a＞0），请用a表示四边形ACDB的面积．

Answer 1

分析 （1）根据勾股定理IQi，解直角三角形求出AC即可；
（2）求出BC，解直角三角形求出BD和CD，根据三角形的面积公式求出△ABC和△BDC的面积即可．

解答 解：（1）∵CD=1，
∴BD=CD=1，
由勾股定理得：BC=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，
∴AC=$\frac{BC}{cos30°}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$；

（2）∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，AB=a，
∴BC=$\frac{AB}{tan30°}$=$\sqrt{3}$a，
∵在Rt△BDC中，∠BDC=90°，∠BCD=45°，BC=$\sqrt{3}$a，
∴CD=BD=BC×sin45°=$\frac{\sqrt{6}}{2}$a，
∴四边形ACDB的面积S=S_△ABC+S_△BDC=$\frac{1}{2}$×a×$\sqrt{3}$a+$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{6}}{2}$a×$\frac{\sqrt{6}}{2}$a=$\frac{2\sqrt{3}+3}{4}$a．

点评 本题考查了含30度角的直角三角形性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，解直角三角形的性质的应用，能根据锐角三角函数的定义求出各个边的长是解此题的关键．