Question

3．如图，AB是⊙O的弦，OP⊥OA交AB于点P，过点B的直线交OP的延长线于点C，且CP=CB．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3，OP=1，求BC的长．

Answer 1

分析 （1）由垂直定义得∠A+∠APO=90°，根据等腰三角形的性质由CP=CB得∠CBP=∠CPB，根据对顶角相等得∠CPB=∠APO，所以∠APO=∠CBP，而∠A=∠OBA，所以∠OBC=∠CBP+∠OBA=∠APO+∠A=90°，然后根据切线的判定定理得到BC是⊙O的切线；
（2）设BC=x，则PC=x，在Rt△OBC中，根据勾股定理得到3²+x²=（x+1）²，然后解方程即可．

解答 （1）证明：连接OB，如图，
∵OP⊥OA，
∴∠AOP=90°，
∴∠A+∠APO=90°，
∵CP=CB，
∴∠CBP=∠CPB，
而∠CPB=∠APO，
∴∠APO=∠CBP，
∵OA=OB，
∴∠A=∠OBA，
∴∠OBC=∠CBP+∠OBA=∠APO+∠A=90°，
∴OB⊥BC，
∴BC是⊙O的切线；

（2）解：设BC=x，则PC=x，
在Rt△OBC中，OB=3，OC=CP+OP=x+1，
∵OB²+BC²=OC²，
∴3²+x²=（x+1）²，
解得x=4，
即BC的长为4．

点评 本题考查了切线的判定定理以及勾股定理，正确应用勾股定理求出BC的长是解题关键．