Question

5．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，AB=6cm，BC=8cm，动点P以1cm/s的速度从点B出发，沿B→O→C向终点C运动，当点P在OB上运动时，过点P作PQ⊥AB于点Q，以PQ为边向上方作正方形PQMN，当点P在OC上运动时，过点P作PQ∥AB交OD于点Q，以PQ为边向左侧作正方形PQMN，设正方形PQMN与△ABO重叠部分图形的面积为S（cm²），点P运动的时间为t（s）．
（1）当点N在边AC上时，求t的值；
（2）当点P在OB上运动时，求S与t之间的函数关系式；
（3）当直线AN将矩形ABCD分成面积为1：3两部分时，直接写出t的值．

Answer 1

分析 （1）如图1中，当点N在边AC上时，易知PB=t，PQ=MN=$\frac{4}{5}$t，BQ=$\frac{3}{5}$t，由MN∥BC，推出$\frac{MN}{BC}$=$\frac{AM}{AB}$，列出方程即可解决问题；
（2）分三种情形讨论①如图2中，当0＜t≤3时，重叠部分是正方形MNPQ．②如图3中，当3＜t≤$\frac{30}{7}$时，重叠部分是五边形MQPEF．③如图4中，当$\frac{30}{7}$＜t≤5时，重叠部分是四边形AQPE．分别求解即可；
（3）分三种情形①如图5中，当直线AN将矩形ABCD分成面积为1：3两部分时，易知BE=EC=4．②如图6中，当直线AN将矩形ABCD分成面积为1：3两部分时，易知DE=EC=3．③如图7中，当直线AN将矩形ABCD分成面积为1：3两部分时，易知BE=EC=4．俯角列出方程即可解决问题；

解答 解：（1）如图1中，当点N在边AC上时．

∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=6，BC=AD=8，∠BAD=90°，
∴BD=AC=10，cos∠ABO=cos∠BAO=$\frac{3}{5}$，
易知PB=t，PQ=MN=$\frac{4}{5}$t，BQ=$\frac{3}{5}$t，
∵MN∥BC，
∴$\frac{MN}{BC}$=$\frac{AM}{AB}$，
∴$\frac{\frac{4}{5}t}{8}$=$\frac{6-\frac{3}{5}t-\frac{4}{5}t}{6}$，
∴t=3．
（2）如图2中，当0＜t≤3时，重叠部分是正方形MNPQ，S=（$\frac{4}{5}$t）²=$\frac{16}{25}$t²．

如图3中，当3＜t≤$\frac{30}{7}$时，重叠部分是五边形MQPEF，

S=S_{正方形MNPQ}-S_△PEN=$\frac{16}{25}$t²-$\frac{1}{2}$•[$\frac{4}{5}$t-$\frac{6}{5}$（5-t）]•$\frac{4}{3}$•[$\frac{4}{5}$t-$\frac{6}{5}$（5-t）]=-$\frac{152}{75}$t²+16t-24．

如图4中，当$\frac{30}{7}$＜t≤5时，重叠部分是四边形AQPE，

S=$\frac{1}{2}$[$\frac{6}{5}$（5-t）+6-$\frac{3}{5}$t]•$\frac{4}{5}$t=-$\frac{18}{25}$t²+$\frac{24}{5}$t．

（3）如图5中，当直线AN将矩形ABCD分成面积为1：3两部分时，易知BE=EC=4，

∵MN∥BE，
∴$\frac{MN}{BE}$=$\frac{AM}{AB}$，
∴$\frac{\frac{4}{5}t}{4}$=$\frac{6-\frac{3}{5}t-\frac{4}{5}t}{6}$，
∴t=$\frac{30}{13}$．
如图6中，当直线AN将矩形ABCD分成面积为1：3两部分时，易知DE=EC=3，

∵tan∠ANM=tan∠DAE，
∴$\frac{AM}{NM}$=$\frac{ED}{AD}$，
∴$\frac{6-\frac{3}{5}t-\frac{4}{5}t}{\frac{4}{5}t}$=$\frac{3}{8}$，
∴t=$\frac{60}{17}$．
如图7中，当直线AN将矩形ABCD分成面积为1：3两部分时，易知BE=EC=4，

∵PN∥EC，
∴$\frac{PN}{EC}$=$\frac{AP}{AC}$，
∴$\frac{\frac{6}{5}（t-5）}{4}$=$\frac{5+t-5}{10}$，
∴t=$\frac{15}{2}$．

点评 本题考查四边形综合题、矩形的性质、平行线分线段成比例定理、多边形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建方程，属于中考压轴题．