Question

8．如图，已知抛物线经过A（1，0），B（0，3）两点，对称轴是直线x=-1．
（1）求抛物线对应的函数关系式；
（2）点N在线段OA上，点M在线段OB上，且OM=2ON，过点N作x轴的垂线交线段AB于点Q，交抛物线于点P．
①当ON为何值时，四边形OMPN为矩形；
②△AOQ能否为等腰三角形？若能，求出此时ON的值；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）可设顶点式，根据待定系数法可求抛物线对应的函数关系式；
（2）①当四边形OMPN为矩形时，满足条件OM=PN，据此列一元二次方程求解；
②△AOQ为等腰三角形时，可能存在三种情形，需要分类讨论，逐一计算．

解答 解：（1）根据题意，设抛物线的解析式为：y=a（x+1）²+k，
∵点A（1，0），B（0，3）在抛物线上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4a+k=0}\\{a+k=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{k=4}\end{array}\right.$．
∴抛物线的解析式为：y=-（x+1）²+4；

（2）①设ON=t（0＜t＜1）．
则OM=2t，PN=-（t+1）²+4，
∵四边形OMPN为矩形，
∴OM=PN，即2t=-（t+1）²+4，
整理得：t²+4t-3=0，
解得t=$\sqrt{7}$-2，由于t=-$\sqrt{7}$-2＜0，故舍去，
∴当ON=$\sqrt{7}$-2时，四边形OMPN为矩形；
②Rt△AOB中，OA=1，OB=3，
∴tanA=3．
若△AOQ为等腰三角形，有三种情况：

（I）若OQ=AQ，如答图1所示：
则N为OA中点，ON=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{1}{2}$，
∴ON=$\frac{1}{2}$；
（II）若OQ=OA，如答图2所示：
设AN=x，则QD=AD•tanA=3x，ON=OA-AN=1-x，
在Rt△QON中，由勾股定理得：ON²+QN²=OQ²，
即（1-x）²+（3x）²=1²，解得x₁=$\frac{1}{5}$，x₂=0（舍去），
∴x=$\frac{1}{5}$，ON=1-x=$\frac{4}{5}$，
∴ON=$\frac{4}{5}$；
（III）若OA=AQ，如答图3所示：
设AN=x，则QD=AN•tanA=3x，
在Rt△AQN中，由勾股定理得：QN²+AN²=AQ²，
即x²+（3x）²=1²，解得x₁=$\frac{{\sqrt{10}}}{10}$，x₂=-$\frac{{\sqrt{10}}}{10}$（舍去），
∴ON=1-x=1-$\frac{{\sqrt{10}}}{10}$，
∴ON=1-$\frac{{\sqrt{10}}}{10}$．
综上所述，当ON为$\frac{1}{2}$、$\frac{4}{5}$、（1-$\frac{{\sqrt{10}}}{10}$）时，△AOQ为等腰三角形．

点评 本题考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、解一元二次方程、勾股定理、解直角三角形、矩形性质、等腰三角形的性质等知识点，综合性比较强，有一定的难度．第（2）问为运动型与存在型的综合性问题，注意要弄清动点的运动过程，进行分类讨论计算．