Question

6．已知抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于点A（2，0），B（6，0），与y轴交于点C（0，6），其对称轴为直线L．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）设P为对称轴上一动点，求△APC周长的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据线段垂直平分线上的点到线短两端点的距离相等，可得PA=PB，根据两点之间线段最短，可得CB最短，根据勾股定理，可得CA、CB的长，根据实数的加法，可得答案．

解答 解：（1）将A、B、C点的坐标代入函数解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{4a+2b+c=0}\\{36a+6b+c=0}\\{c=6}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=-4}\\{c=6}\end{array}\right.$，
抛物线的解析式为y=$\frac{1}{2}$x²-4x+6；
（2）如图，
A、B关于对称轴，得
PA=PB．
AC=$\sqrt{{2}^{2}+{6}^{2}}$=2$\sqrt{10}$，BC=$\sqrt{{6}^{2}+{6}^{2}}$=6$\sqrt{2}$，
C_△PAC最小=CA+AP+PC=CA+（CP+PB）=2$\sqrt{10}$+6$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点，利用了线段垂直平分线的性质，利用线段的性质是解题关键．