Question

10．如图，△ABC为等边三角形，D为AB上一点，点E为CD延长线上一点，CE=CB，连接BE并延长交CA的延长线于点F，若AD=3，CF=7，则CD=4．

Answer 1

分析 以点A为圆心，CA为半径作⊙C，在AC上截取AG=BD，设∠ABE=α，可证明△ABG≌△BCD，求得∠FBG=60°-α，根据∠F=60°-α，得CD=FG，即可得出FG的长，从而得出CD即可．

解答 解：以点A为圆心，CA为半径作⊙C，在AC上截取AG=BD，设∠ABE=α，
∴点A、E、B都在⊙C上，
∴∠ACE=2∠ABE=2α，∠BCE=60°-2α，
∵AG=BD，∠BAG=60°=∠CBD，AB=BC，
在△ABG和△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AG=BD}\\{∠BAG=∠CBD}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△BCD，
∴BG=CD，∠ABG=∠BCD=60°-2α，
∴∠FBG=∠ABE+∠ABG=60°-α，
又∵∠F=∠BAC-∠ABF=60°-α，
∴∠FBG=∠F，
∴BG=FG，
∴CD=FG，
∵BD=AG，AB=AC，
∴CG=AC-AG=AB-BD=AD=3，
∴FG=CF-CG=4，
∴CD=4．
故答案为4．

点评 本题考查了判定和性质，以及等边三角形的性质、圆周角定理，是一道综合性的题目，难度不大，是中考的常见题型．