Question

14．合肥市打造世界级国家旅游中心，精心设计12个千年古镇．如图1是某明清小院围墙中的精美图案，它是两个形状大小相同的菱形与一个圆组成，且A、C、E、G在其对称轴AG上．已知菱形的边长和圆的直径都是1dm，∠A=60°．
（1）求图案中AG的长；
（2）假设小院的围墙一侧用上述图案如图2排列，其中第二块图案左边菱形一个顶点正好经过第一块图案的右边菱形的对称中心，…，依此类推，第101块这种图案这样排列长为多少米？（不考虑缝隙及拼接处）

Answer 1

分析 （1）连接BD，AC交于O，由于四边形ABCD是菱形，得到AC⊥BD，解直角三角形得到AO=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，于是得到结论；
（2）根据题意得，AG=3$\sqrt{3}$+1，于是得到围墙一侧排列n块的总长2$\sqrt{3}$+1+（n-1）（$\frac{\sqrt{3}}{2}$$\sqrt{3}$=1），即可得到结论．

解答 解：（1）连接BD，AC交于O，∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵AB=1，∠A=60°，
∴∠BAO=30°，
∴AO=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴AC=$\sqrt{3}$，
∵圆的直径都是1dm，
∴AG=（2$\sqrt{3}$+1）dm；
（2）根据题意得，AG=3$\sqrt{3}$+1，
而围墙一侧排列n块的总长：2$\sqrt{3}$+1+（n-1）（$\frac{\sqrt{3}}{2}$$\sqrt{3}$=1），
∴第101块这种图案这样排列长为2$\sqrt{3}$+1+（101-1）（$\frac{3}{2}$$\sqrt{3}$+1）=（152$\sqrt{3}$+101）dm=$\frac{152\sqrt{3}+101}{10}$米．

点评 本题考查了菱形的性质，轴对称的性质，解直角三角形，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．