Question

4．某乡镇中学教学活动小组，为测量数学楼后面的山高AB，用了如下方法．如图所示，在教学楼底C处测得山顶A的仰角为60°，在教学楼顶D处，测得山顶A的俯角为45°．已知教学楼高CD=12米，求山高AB．（结果可化为最简根式）

Answer 1

分析 过D作AB的垂线，设垂足为E．在Rt△ABC中，可用AB表示出BC的长，进而可在Rt△ADE中，表示出AE的长；根据BE=AB-AE=12，即可求出山高AB的长度．

解答 解：过D作DE⊥AB于E，则DE∥BC．
设AB=h米．
在Rt△ABC中，BC=h•cot60°=h•tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$h．   
在Rt△AED中，AE=DEtan45°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$h．             
又∵AB-AE=BE=CD=12，
∴h-$\frac{\sqrt{3}}{3}$h=12，
解得h=$\frac{12}{1-\frac{\sqrt{3}}{3}}$=$\frac{36}{3-\sqrt{3}}$=18+6$\sqrt{3}$．                      
答：山高AB是（18+6$\sqrt{3}$）米．

点评 考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解直角梯形可以通过作高线转化为解直角三角形和矩形的问题．