题目内容

如图，在平面直角坐标系中，直线AC与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点C（0，4）．作OB⊥AC于点B，动点D在边OA上，D（m，0）（0＜m＜4），过点D作DE⊥OA交折线OB-BA于点E．Rt△GHI的斜边HI在射线AC上，GI∥OA，GI=m，GI与x轴的距离为 $数学公式$ ．设△GHI与△OAB重叠部分图形的面积为S．
（1）求直线AC所对应的函数关系式．
（2）直接写出用m分别表示点G、H、I的坐标．
（3）当0＜m＜2时，求S与m之间的函数关系式．
（4）直接写出点E落在△GHI的边上时m的取值范围．

解：（1）设直线AC所对应的函数关系式为y=kx+b．
把（4，0）、（0，4）代入得 $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ．
故直线AC所对应的函数关系式为y=-x+4．

（2）点G的横坐标4-（m+ $\text{[math]}$ ）=4- $\text{[math]}$ m，纵坐标为 $\text{[math]}$ m，故 $\text{[math]}$ ，
点H的横坐标4-（m+ $\text{[math]}$ ）=4- $\text{[math]}$ m，纵坐标为m+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ m，故 $\text{[math]}$ ，
点I的横坐标4- $\text{[math]}$ m，纵坐标为 $\text{[math]}$ m，故 $\text{[math]}$ ．

（3）当H、B重合时，y_H=y_B，则 $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ ．
当0＜m≤ $\text{[math]}$ 时，S= $\text{[math]}$ ．
当 $\text{[math]}$ ＜m＜2时，S= $\text{[math]}$ ．

（4）点E落在△GHI的GH边上，m=4- $\text{[math]}$ m，解得m= $\text{[math]}$ ；
点E落在△GHI的HI边上，m+m=4，解得m=2；m=4- $\text{[math]}$ m，解得m= $\text{[math]}$ ；即2≤m≤ $\text{[math]}$ ．
故点E落在△GHI的边上时，m的取值范围为m= $\text{[math]}$ 或2≤m≤ $\text{[math]}$ ．
分析：（1）待定系数法把（4，0）、（0，4）代入函数关系式，可得直线AC所对应的函数关系式．
（2）分别用m表示点G、H、I的横坐标和纵坐标即可求解．
（3）当H、B重合时，y_H=y_B，可得 $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ ．再分当0＜m≤ $\text{[math]}$ 时；当 $\text{[math]}$ ＜m＜2时；两种情况讨论可求S与m之间的函数关系式．
（4）分点E落在△GHI的GH边上，点E落在△GHI的HI边上两种情况讨论即可求解．
点评：本题考查了一次函数综合题，涉及的知识点有：点的坐标的求法，待定系数法求直线解析式，折叠问题及分类讨论的数学思想．