Question

（1）在图①，②，③中，给出平行四边形ABCD的顶点A、B、D的坐标（如图），写出图①，②，③中的顶点C的坐标，它们分别是

 

，

 

，

 

；（可用含a，b，c，d，e，f的代数式表示）
（2）在图④中，给出平行四边形ABCD的顶点A、B、D的坐标（如图），求出顶点C的坐标（C点坐标用含a，b，c，d，e，f的代数式表示）；
★归纳与发现
（3）通过对图①②③④的观察和顶点C的坐标的探究，你会发现：无论平行四边形ABCD处于直角坐标系中哪个位置，当其顶点坐标为A（a，b）、B（c，d）、C（m，n）、D（e，f）（如图④）时，则四个顶点的横坐标a，c，m，e之间的等量关系为

 

；纵坐标b，d，n，f之间的等量关系为

 

（不必证明）；
★运用与推广
（4）在同一直角坐标系中有双曲线y=-x²-（5c-3）x-c和三个点G（-

1

2

c，

5

2

c），S（

1

2

c，

9

2

c），H（2c，0）（其中c＞0）．问当c为何值时，该双曲线上存在点P，使得以G，S，H，P为顶点的四边形是平行四边形？并求出所有符合条件的P点坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）根据平行四边形的性质：对边平行且相等，得出图2，3中顶点C的坐标分别是（e+c，d），（c+e-a，d）；
（2）分别过点A，B，C，D作x轴的垂线，垂足分别为A₁，B₁，C₁，D₁，分别过A，D作AE⊥BB₁于E，DF⊥CC₁于点F．在平行四边形ABCD中，CD=BA，根据内角和定理，又∵BB₁∥CC₁，可推出∠EBA=∠FCD，△BEA≌△CFD．依题意得出AF=DF=a-c，BE=CF=d-b．设C（x，y）．由e-x=a-c，得x=e+c-a．由y-f=d-b，得y=f+d-b．继而推出点C的坐标．
（3）在平行四边形ABCD中，CD=BA，同理证明△BEA≌△CFD（同（2）证明）．然后推出AF=DF=a-c，BE=CF=d-b．又已知C点的坐标为（m，n），e-m=a-c，故m=e+c-a．由n-f=d-b，得出n=f+d-b．
（4）若GS为平行四边形的对角线，由（3）可得P₁（-2c，7c）．要使P₁在抛物线上，则有7c=4c²-（5c-3）×（-2c）-c，求出c的实际取值以及P₁的坐标，若SH为平行四边形的对角线，由（3）可得P₂（3c，2c），同理可得c=1，此时P₂（3，2）；若GH为平行四边形的对角线，由（3）可得（c，-2c），同理可得c=1，此时P₃（1，-2）；故综上所述可得解．

解答：解：（1）由题意可得出：
①，②，③中的顶点C的坐标，它们分别是（5，2），（e+c，d），（c+e-a，d）．
故答案为：（5，2），（e+c，d），（c+e-a，d）．

（2）如图所示：
分别过点A，B，C，D作x轴的垂线，垂足分别为A₁，B₁，C₁，D₁，
分别过A，D作AE⊥BB₁于E，DF⊥CC₁于点F．
在平行四边形ABCD中，CD=BA，
又∵BB₁∥CC₁，
∴∠EBA+∠ABC+∠BCF=∠ABC+∠BCF+∠FCD=180度．
∴∠EBA=∠FCD．
在△BEA和△CFD中

∠AEB=∠DFC ∠EBA=∠FCD AB=CD

∴△BEA≌△CFD（AAS）．
∴AE=DF=a-c，BE=CF=d-b．
设C（x，y）．
由e-x=a-c，得x=e+c-a．
由y-f=d-b，得y=f+d-b．
∴C（e+c-a，f+d-b）．
（此问解法多种，可参照评分）

（3）由图①②③④可得出：m=c+e-a，n=d+f-b．或m+a=c+e，n+b=d+f．
故答案为：m=c+e-a，n=d+f-b．

（4）若GS为平行四边形的对角线，由（3）可得P₁（-2c，7c）．
要使P₁在抛物线上，
则有7c=4c²-（5c-3）×（-2c）-c，
即c²-c=0．
∴c₁=0（舍去），c₂=1．此时P₁（-2，7）．
若SH为平行四边形的对角线，由（3）可得P₂（3c，2c），
同理可得c=1，此时P₂（3，2）．
若GH为平行四边形的对角线，由（3）可得（c，-2c），
同理可得c=1，此时P₃（1，-2）．
综上所述，当c=1时，抛物线上存在点P，使得以G，S，H，P为顶点的四边形是平行四边形．
符合条件的点有P₁（-2，7），P₂（3，2），P₃（1，-2）．

点评：此题主要考查了平行四边形的性质，平面直角坐标系内的坐标，平行线的性质等知识．理解平行四边形的特点结合平面直角坐标系是解决本题的关键．