Question

如图，点E、F分别为正方形ABCD中AB、BC边的中点，连接AF、DE相交于点G，连接CG，则cos∠CGD=（　　）

• A、

  1

  2

• B、

  3

  2

• C、

  2 5

  5

• D、

  5

  5

Answer 1

考点：正方形的性质,勾股定理,锐角三角函数的定义

专题：

分析：根据正方形的性质可得AB=AD，∠B=∠BAD=90°，再求出AE=BF，然后利用“边角边”证明△ABF和△DAE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠AED=∠BFA，再求出∠AGE=90°，从而得到AF⊥DE，取AD的中点H，连接CH，再判断出CH垂直平分DG，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得CD=CG，根据等边对等角可得∠CGD=∠CDG，再求出∠CGD=∠AED，设正方形的边长为2a，求出AE，再利用勾股定理列式求出DE，然后根据锐角的余弦等于邻边比斜边列式计算即可得解．

解答：解：如图，在正方形ABCD中，AB=AD，∠B=∠BAD=90°，
∵E、F分别为AB、BC边的中点，
∴AE=BF，
在△ABF和△DAE中，

AB=AD ∠B=∠BAD=90° AE=BF

，
∴△ABF≌△DAE（SAS），
∴∠AED=∠BFA，
∵∠BAF+∠AED=∠BAF+∠BFA=90°，
∴∠AGE=90°，
∴AF⊥DE，
取AD的中点H，连接CH，
因为H是AD的中点，CH∥AF，
设CH与DG相交于点M，则MH是三角形ADG的中位线，
所以DM=GM，
所以CH垂直平分DG，
∴CD=CG，
∴∠CGD=∠CDG，
∵AB∥CD，
∴∠CGD=∠AED，
设正方形的边长为2a，则AE=a，
由勾股定理得，DE=

AE2+AD2

=

a2+(2a)2

=

5

a，
∴cos∠AED=

AE

DE

=

a

5 a

=

5

5

，
∴cos∠CGD=cos∠AED=

5

5

．
故选D．

点评：本题考查了正方形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，熟记性质并作辅助线把∠CGD转化为∠AED是解题的关键．