题目内容
18．阅读下面的材料：某数学学习小组遇到这样一个问题：如果α，β都为锐角，且tanα=$\frac{1}{4}$，tanβ=$\frac{3}{5}$，求α+β的度数．
该数学课外小组最后是这样解决问题的：如图1，把α，β放在正方形网格中，使得∠ABD=α，∠CBE=β，且BA，BC在直线BD的两侧，连接AC．
（1）观察图象可知：α+β=45°；
（2）请参考该数学小组的方法解决问题：如果α，β都为锐角，当tanα=3，tanβ=$\frac{1}{2}$时，在图2的正方形网格中，画出∠MON=α-β，并求∠MON的度数．
分析 （1）由BC2=AB2+AC2=2AB2，得出△ABC是等腰直角三角形，且∠BAC=90°，那么α+β=∠ABC=45°；
（2）连结MN，由OM2=ON2+MN2=2ON2，得出△OMN是等腰直角三角形，且∠ONM=90°，那么α-β=∠MON=45°．
解答 解：（1）如图1．
∵BC2=32+52=34，AB2=42+12=17，AC2=42+12=17，
∴BC2=AB2+AC2=2AB2，
∴△ABC是等腰直角三角形，且∠BAC=90°，
∴α+β=∠ABC=45°．
故答案为45；
（2）如图2，连结MN．
∵OM2=32+12=10，ON2=22+12=5，MN2=22+12=5，
∴OM2=ON2+MN2=2ON2，
∴△OMN是等腰直角三角形，且∠ONM=90°，
∴α-β=∠MON=45°
点评 本题考查了解直角三角形，勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定与性质，作图-应用与设计作图，利用网格结构进行计算，判断所求角所在的三角形是等腰直角三角形是解题的关键．
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