Question

在某张航海图上，标明了三个观测点的坐标，如图，O（0，0）、B（6，0）、C（6，8），由三个观测点确定的圆形区域是海洋生物保护区．
（1）求圆形区域的面积；
（2）某时刻海面上出现-渔船A，在观测点O测得A位于北偏东45°，同时在观测点B测得A位于北偏东30°，求观测点B到A船的距离．（

3

≈1.7，保留三个有效数字）；
（3）当渔船A由（2）中位置向正西方向航行时，是否会进入海洋生物保护区？通过计算回答．

Answer 1

考点：勾股定理的应用,点与圆的位置关系

专题：

分析：（1）连接CB，CO，则CB∥y轴，由圆周角定理、勾股定理得OC=

82+62

=10，则半径OO′=5，S_⊙O′=π•5²=25π．
（2）过点A作AD⊥x轴于点D，依题意，得∠BAD=30°，在Rt△ABD中，设BD=x，则AB=2x，由勾股定理AD=

3

x，根据图形得到OD=OB+BD=6+x，故AB=2x=6（

3

+1）≈16.2
（3）过点A作AG⊥y轴于点G．过点O′作O′E⊥OB于点E，并延长EO′交AG于点F．由垂径定理得，OE=BE=3．在Rt△OO′E中，由勾股定理得，O′E=4．所以
O′F=9+3

3

-4=5+3

3

＞5．

解答：解：（1）连接CB，CO，则CB∥y轴，
∴∠CBO=90°，
设O′为由O、B、C三点所确定圆的圆心．
则OC为⊙O′的直径．
由已知得OB=6，CB=8，由勾股定理得OC=

82+62

=10
半径OO′=5，S_⊙O′=π•5²=25π．

（2）过点A作AD⊥x轴于点D，依题意，得∠BAD=30°，
在Rt△ABD中，设BD=x，则AB=2x，
由勾股定理得，AD=

AB2-BD2

=

3

x，
由题意知：OD=OB+BD=6+x，在Rt△AOD中，OD=AD，6+x=

3

x
∴x=3（

3

+1），
∴AB=2x=6（

3

+1）≈16.2
（注：近似计算一定要到最后的结果才可以代入，否则中间就代入，误差会很大）；

（3）过点A作AG⊥y轴于点G．
过点O′作O′E⊥OB于点E，并延长EO′交AG于点F．
由（1）知，OO′=5，由垂径定理得，OE=BE=3．
∴在Rt△OO′E中，由勾股定理得，O′E=4
∵四边形FEDA为矩形．
∴EF=DA，而AD=

3

x=9+3

3

∴O′F=9+3

3

-4=5+3

3

＞5，
∴直线AG与⊙O′相离，A船不会进入海洋生物保护区．

点评：本题考查了勾股定理的应用、点与圆的位置关系．熟练掌握垂径定理及其推论；圆由半径和圆心确定；会判断点与圆的位置关系．