Question

20．如图，在△ABC中，∠C=90°，其三边的长之比为3：4：5，按图中的方法将它对折，使折痕（图中虚线）过其中的一个顶点，且使该顶点所在两边重合，若不重叠的部分△ADE的面积是6cm²，则△ABC的面积是24或54cm²．

Answer 1

分析 分两种情形讨论即可：①当BC：AC：AB=3：4：5时，设BC=3k，AC=4k，AB=5k，则BD=BC=3k，AD=2k，设DE=EC=x，在Rt△ADE中，根据AD²+ED²=AE²，得到4k²+x²=（4k-x）²，得到x=$\frac{3}{2}$k，由$\frac{1}{2}$•AD•DE=6，得$\frac{1}{2}$•2k•$\frac{3}{2}$k=6，可得k²=4，再求出△ABC面积即可．②当BC：AC：AB=4：3：5时，设BC=4k，AC=3k，AB=5k，则BD=BC=4k，AD=k，设DE=EC=x，方法类似．

解答 解：①当BC：AC：AB=3：4：5时，
设BC=3k，AC=4k，AB=5k，则BD=BC=3k，AD=2k，设DE=EC=x，
在Rt△ADE中，∵AD²+ED²=AE²，
∴4k²+x²=（4k-x）²，
∴x=$\frac{3}{2}$k，
∵$\frac{1}{2}$•AD•DE=6，
∴$\frac{1}{2}$•2k•$\frac{3}{2}$k=6，
∴k²=4，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×3k×4k=6k²=24cm²．
②当BC：AC：AB=4：3：5时，设BC=4k，AC=3k，AB=5k，则BD=BC=4k，AD=k，设DE=EC=x，
在Rt△ADE中，∵AD²+ED²=AE²，
∴k²+x²=（3k-x）²，
∴x=$\frac{4}{3}$k，
∵$\frac{1}{2}$•AD•DE=6，
∴$\frac{1}{2}$•k•$\frac{4}{3}$k=6，
∴k²=9，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×3k×4k=6k²=54cm．
综上所述，△ABC的面积为24cm²或54cm²．
故答案为24或54．

点评 本题考查翻折变换、直角三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．