Question

14．如图，在四边形ABCD中，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为E，F，BE=DF，AE=CF．
（1）求证：△AFD≌△CEB；
（2）若∠CBE=∠BAC，四边形ABCD是怎样的四边形？证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）求出AF=CE，再利用“边角边”证明即可；
（2）根据全等三角形对应边相等可得AD=BC，全等三角形对应角相等可得∠BCE=∠DAF，再根据内错角相等，两直线平行证明AD∥BC，然后判断出四边形ABCD是平行四边形，求出∠ABC=90°，最后根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明．

解答 证明：（1）∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠AFD=∠CEB=90°．
∵AE=FC，
∴AE+EF=FC+EF，
∴AF=CE，
又∵BE=DF，
∴△AFD≌△CEB；

（2）四边形ABCD为矩形．
∵△AFD≌△CEB，
∴AD=BC，∠BCE=∠DAF．
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵∠CBE=∠BAC，
又∵∠CBE+∠ACB=90°，
∴∠BAC+∠ACB=90°，
∴∠ABC=90°，
∴四边形ABCD为矩形．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图是解题的关键．