Question

计算：
（1）1

4

17

×（2

2

3

-

3

4

）-

6 6 7 -3 9 13

3 3 7 -2 2 11

×

13

33

+

17+ 11 12

1- 4 21

；
（2）24×（

1

2×3

+

1

4×5

+…+

1

24×25

）-（

1

12

+

1

12+22

+

1

12+22+32

+…+

1

12+22+…+122

）．

Answer 1

考点：有理数无理数的概念与运算

专题：计算题

分析：（1）只需将带分数化成假分数后，运用有理数的运算法则就可解决问题．
（2））由1²+2²+3²+…+n²=

1

6

n（n+1）（2n+1）可得

1

12+22+…+n2

=

6

n(n+1)(2n+1)

=

24

2n(2n+1)(2n+2)

=12[

1

2n(2n+1)

-

1

(2n+1)(2n+2)

]，然后运用裂项相消法就可解决问题．

解答：解：（1）原式=

21

17

×

23

12

-

48 7 - 48 13

24 7 - 24 11

×

13

33

+

17+ 11 12

17 21

=

7×23

17×4

-2×

1 7 - 1 13

1 7 - 1 11

×

13

33

+（17+

11

12

）×

21

17

=

7×23

17×4

-2×

6 91

4 77

×

13

33

+21+

11×7

17×4

=

34×7

17×4

-2×

33

26

×

13

33

+21
=3.5-1+21
=23.5．

（2）∵1²+2²+3²+…+n²=

1

6

n（n+1）（2n+1），
∴

1

12+22+…+n2

=

6

n(n+1)(2n+1)

=

24

2n(2n+1)(2n+2)

=12[

1

2n(2n+1)

-

1

(2n+1)(2n+2)

]
∴原式=24×（

1

2×3

+

1

4×5

+…+

1

24×25

）-12×（

1

2×3

-

1

3×4

+

1

4×5

-

1

5×6

+…+

1

24×25

-

1

25×26

）
=24×（

1

2×3

+

1

4×5

+…+

1

24×25

）-12×（

1

2×3

+

1

4×5

+…+

1

24×25

）+12×（

1

3×4

+

1

5×6

+…+

1

25×26

）
=12×（

1

2×3

+

1

4×5

+…+

1

24×25

）+12×（

1

3×4

+

1

5×6

+…+

1

25×26

）
=12×（

1

2×3

+

1

3×4

+

1

4×5

+

1

5×6

+…+

1

24×25

+

1

25×26

）
=12×（

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+

1

4

-

1

5

+

1

5

-

1

6

+…+

1

24

-

1

25

+

1

25

-

1

26

）
=12×（

1

2

-

1

26

）
=12×

6

13

=

72

13

．

点评：本题主要考查了有理数的运算，运用公式1²+2²+3²+…+n²=

1

6

n（n+1）（2n+1），并采用裂项相消法是解决第（2）小题的关键．