Question

如图，在四边形ABCD中，∠BAC=∠ACD，∠B=∠D．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形； 
（2）若AB=3cm，BC=5cm，∠B=90°；点P从B点出发，以4cm/s的速度沿BA→AD→DC运动，点Q从B点出发，以1cm/s的速度沿BC方向运动，当一个点先到达点C时另一点就停止运动．问从运动开始经过多少时间，△BPQ的面积最大？

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：

分析：（1）先根据∠BAC=∠ACD，证明AB∥CD，然后证明△BAC≌△DCA得出AB=DC，最后根据对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证得；
（2）分三种情况讨论求得．

解答：（1）证明：∵∠BAC=∠ACD，
∴AB∥CD，
∵∠B=∠D，AC=CA，
∴△BAC≌△DCA，
∴AB=DC，
∴四边形ABCD是平行四边形；


（2）设从运动开始经过t秒时，△BPQ的面积为S，
当0≤t≤

3

4

时，如图2①，S=

1

2

BQ•PB=

1

2

×4t×t=2t²，S的最大值为

9

8

；
当

3

4

＜t2时，如图2②，S=

1

2

（AP+BQ）•AB-

1

2

AP•AB=

1

2

（4t-3+t）×3-

1

2

（4t-3）×3=

3

2

t；S的最大值为3；
当2＜t≤

11

4

时，如图2③，S=

1

2

BQ•PC=

1

2

t（11-4t）=-2t²+

11

2

t；无最大值；
所以S=

2t2   (0≤t≤ 3 4 ) 3 2 t    ( 3 4 ＜t≤2) -2t2+ 11 2 t    (2＜t≤ 11 4 )

，
所以当从运动开始经过2秒时，△BPQ的面积最大的，其值为3cm²．

点评：此题考查了矩形的性质、平行四边形的判定、三角形的面积公式．能够借助函数的知识讨论图形的面积最值问题．