Question

【题目】如图所示，矩形ABCD的边长AB＝2，BC＝2，△ADE为正三角形．

若半径为R的圆能够覆盖五边形ABCDE（即五边形ABCDE的每个顶点都在圆内或圆上），则R的最小值是（ ）

A.2B.4C.2.8D.2.5

Answer 1

【答案】C

【解析】

连接AC、BE、CE，取BC的中点F，连接EF，根据勾股定理可得AC，根据直角三角形的边角关系可得∠ACB＝30°，∠CAD＝30°，再根据正三角形的性质可得：∠EAD＝∠EDA＝60°，AE＝AD＝DE＝2，进而推出△EAC是直角三角形，由勾股定理可得EC的长．判断△EAB≌△EDC，根据全等三角形的性质可得EB＝EC，继而根据题意可判断能够覆盖五边形ABCDE的最小圆的圆心在线段EF上，且此圆只要覆盖住△EBC必能覆盖五边形ABCDE，从而此圆的圆心到△BCE的三个顶点距离相等．根据等腰三角形的判定和性质可得F是BC中点，BF＝CF＝，EF⊥BC，由勾股定理可得EF的长，继而列出关于R的一元二次方程，解方程即可解答．

如图所示，连接AC、BE、CE，取BC的中点F，连接EF，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABC＝∠DAB＝∠BCD＝∠ADC＝90°,AD∥BC，AD＝BC＝2，AB＝CD＝2

∵BC＝2，AB＝2

由勾股定理可得：

AC＝＝＝4

∴sin∠ACB＝＝，sin∠CAD＝＝

∴∠ACB＝30°，∠CAD＝30°

∵△ADE是正三角形

∴∠EAD＝∠EDA＝60°，AE＝AD＝DE＝2，

∴∠EAC＝∠EAD＋∠CAD＝90°,

∴△EAC是直角三角形，

由勾股定理可得：

EC＝＝＝

∵∠EAB＝∠EAD＋∠BAD＝150°

∠EDC＝∠EDA＋∠ADC＝150°

∴∠EAB＝∠EDC

∵EA＝ED，AB＝DC

∴△EAB≌△EDC

∴EB＝EC＝

即△EBC是等腰三角形

∵五边形ABCDE是轴对称图形，其对称轴是直线EF，

∴能够覆盖五边形ABCDE的最小圆的圆心在线段EF上，且此圆只要覆盖住△EBC必能覆盖五边形ABCDE．从而此圆的圆心到△BCE的三个顶点距离相等．

设此圆圆心为O，则OE＝OB＝OC＝R，

∵F是BC中点

∴BF＝CF＝，EF⊥BC

在Rt△BEF中，由勾股定理可得：

EF＝＝＝5

∴OF＝EF－OE＝5－R

在Rt△OBF中，

即

解得：R＝2.8

∴能够覆盖五边形ABCDE的最小圆的半径为2.8．

故选C．