Question

4．如图，直线l：$y=\frac{4}{3}x+4$交x轴于点B，交y轴于点A，⊙P过A、O两点．
（1）如图①，当点P在线段OA上时，⊙P交AB于点C，求弦AC的长；
（2）如图②，当⊙P与直线l相切于点A时，求圆心点P的坐标；
（3）如图③，当点P在△AOB的外角∠OAE的平分线上时，求⊙P的半径长．

Answer 1

分析 （1）连接OC，先求出A、B的坐标，再根据勾股定理求出AB，然后由射影定理即可求出AC；
（2）作PD⊥x轴于D，先由切线求出∠BAC=90°，再由射影定理求出OC，得出DO、PD的长，即可得出结果；
（3）连接CF，由圆周角定理求出∠AFC=90°，根据角平分线的性质得出CF=OC，再证明△BCF∽△BAO，求出CF得出OC，最后根据勾股定理求出AC，即可得出⊙P的半径长．

解答 解：（1）连接OC，如图1所示：
对于直线$y=\frac{4}{3}x+4$，
当y=0时，$\frac{4}{3}$x+4=0，解得：x=-3，
∴OB=3，B（-3，0）；
当x=0时，y=4，
∴OA=4，A（0，4），
∵∠AOB=90°，
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5，
∵OA是⊙P的直径，
∴∠ACO=90°，
根据射影定理得：OA²=AC•AB，
∴AC=$\frac{O{A}^{2}}{AB}$=$\frac{{4}^{2}}{5}$=$\frac{16}{5}$；

（2）作PD⊥x轴于D，如图2所示：
则PD∥OA，
∵⊙P与直线l相切于点A，
∴AC⊥AB，
∴∠BAC=90°，
∵OA⊥BC，
根据射影定理得：OA²=OB•OC，
∴OC=$\frac{O{A}^{2}}{OB}$=$\frac{{4}^{2}}{3}$=$\frac{16}{3}$，
∵P为AC的中点，
∴D为OC的中点，
∴DO=$\frac{1}{2}$OC=$\frac{8}{3}$，PD=$\frac{1}{2}$OA=2，
∴圆心点P的坐标为（$\frac{8}{3}$，2）；

（3）连接CF，如图3所示：
∵AC是直径，
∴∠AFC=90°，
∴∠AFC=∠AOB=90°，
∵AC平分∠OAE，
∴CF=OC，
又∵∠CBF=∠ABO，
∴△BCF∽△BAO，
∴$\frac{CF}{OA}=\frac{BC}{AB}$，即$\frac{CF}{4}=\frac{CF+3}{5}$，
解得：CF=12，
∴OC=12，
在Rt△AOC中，根据勾股定理得：
AC=$\sqrt{{4}^{2}+1{2}^{2}}$=4$\sqrt{10}$，
∴PA=2$\sqrt{10}$；
即⊙P的半径长为2$\sqrt{10}$．

点评 本题是圆的综合题，考查了勾股定理、圆周角定理、射影定理、角的平分线性质以及相似三角形的判定与性质；本题难度较大，综合强，特别是（3）中，根据三角形相似得出比例式求出CF，再根据勾股定理才能求出答案．