Question

10．在菱形ABCD中，已知∠ABC=120°，BC=6cm，点E是BC边的中点，F是对角线AC上任意点，现有动点M从点E出发，沿在线段E→F→A移动，在线段EF上的移动速度是1cm/s，在线段FA上的速度是2cm/s，则点M从E到A所需时间的最小值是3$\sqrt{3}$秒．

Answer 1

分析 连接BD，DE交AC于F，先证明M从E到A所需时间的最小值是DE的长，然后求出DE即可解决问题．

解答 解：连接BD，DE交AC于F，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=DA，AB∥CD，
∵∠ABC=120°，
∴∠BCD=180°-∠ABC=60°，
∴△DBC是等边三角形，
∴DB=DC，
∵BE=EC，
∴ED⊥BC，
∴∠DEC=90°，
∴∠CDE=30°，
∴∠ADF=∠ADC-∠CDE=90°，
∵∠BAD=60°，
∴∠DAF=30°，
∴AF=2DF，
∴点M从E到A所需时间t=$\frac{EF}{1}$+$\frac{AF}{2}$=EF+DF=ED，此时M从E到A所需时间的最小，
这个最小值=DE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BC=3$\sqrt{3}$．
故答案为3$\sqrt{3}$．

点评 本题考查菱形的性质、最小值问题、垂线段最短等知识，解题的关键是添加辅助线，利用垂线段最短解决最小值问题，属于中考常考题型．