Question

7．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y=2x+4交X轴于点A，交y轴于点B，四边形ABCO是平行四边形，直线y=-x+m经过点C，交x轴于点D．
（1）求m的值；
（2）点P（0，t）是线段OB上的一个动点（点P不与0，B两点重合），过点P作x轴的平行线，分别交AB，OC，DC于点E，F，G，设线段EG的长为d，求d与t之间的函数关系式并直接写出自变量t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）首先求得A和B的坐标，过C作CK⊥x轴于K，则四边形BOKC是矩形，求得C的坐标，即可求得CK的长，即OB的长，从而求得m的值；
（2）延长DC交y轴于点N，分别过点E、G作x轴的垂线，垂足为R和Q．则四边形ERQG、四边形POQG、四边形EROP都是矩形，根据△ARE∽△AOB，即可求得AR的值，则函数解析式即可求解．

解答 解：（1）∵当x=0时，y=4，
∴点B的坐标是（0，4），OB=4，
由2x+4=0，解得x=-2，
∴A的坐标是（-2，0），OA=2，
∵四边形ABCO是平行四边形，过C作CK⊥x轴于K．
则四边形BOKC是矩形，
∴OK=BC=2，CK=OB=4，
∴点C的坐标是（2，4）．
∴4=-2+m，
∴m=6；
（2）延长DC交y轴于点N，分别过点E、G作x轴的垂线，垂足为R和Q．
则四边形ERQG、四边形POQG、四边形EROP都是矩形，
∴ER=PO=GQ=t，
∵△ARE∽△AOB，
∴$\frac{ER}{AR}=\frac{OB}{OA}$，
∴$\frac{t}{AR}=\frac{4}{2}$，
∴AR=$\frac{1}{2}$t，
∵OD=ON=6，
∴∠ODN=45°，
∴DQ=GQ=t，
又AD=AO+OD=8，
∴EG=RQ=8-$\frac{1}{2}$t-t=8-$\frac{3}{2}$t，
∴d=-$\frac{3}{2}$t+8（0＜t＜4）．

点评 本题考查了平行四边形的性质，以及相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线，利用t表示出AR是关键．