Question

17．如图，二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象经过点（0，3），且当x=1时，y有最小值2．
（1）求a，b，c的值；
（2）设二次函数y=k（2x+2）-（ax²+bx+c）（k为实数），它的图象的顶点为D．
①当k=1时，求二次函数y=k（2x+2）-（ax²+bx+c）的图象与x轴的交点坐标；
②请在二次函数y=ax²+bx+c与y=k（2x+2）-（ax²+bx+c）的图象上各找出一个点M，N，不论k取何值，这两个点始终关于x轴对称，直接写出点M，N的坐标（点M在点N的上方）；
③过点M的一次函数y=-$\frac{3}{4}$x+t的图象与二次函数y=ax²+bx+c的图象交于另一点P，当k为何值时，点D在∠NMP的平分线上？
④当k取-2，-1，0，1，2时，通过计算，得到对应的抛物线y=k（2x+2）-（ax²+bx+c）的顶点分别为（-1，-6，），（0，-5），（1，-2），（2，3），（3，10），请问：顶点的横、纵坐标是变量吗？纵坐标是如何随横坐标的变化而变化的？

Answer 1

分析 （1）利用顶点式的解析式求解即可；
（2））①当k=1时，y=-x²+4x-1，令y=0，-x²+4x-1=0，解得x的值，即可得出图象与x轴的交点坐标；
②y=k（2x+2）-（ax²+bx+c）当经x=-1时，y=ax²+bx+c与y=k（2x+2）-（ax²+bx+c）的图象上点M，N，不论k取何值，这两个点始终关于x轴对称，可得M（-1，6），N（-1，-6）；
③由y=-$\frac{3}{4}$+t，经过（-1，6），可得t的值，由ME⊥x轴，可得E点的横坐标为-1，可得出AE，ME，MA的值．设MD交AE于点B，作BC⊥AM于点C，设BC=x，则AB=8-x，显然△ABC∽△AMN，可求出x的值，即可得出MD的函数表达式为y=-2x+4．再把点D代入，即可求出k的值；
④观察可得出当顶点的横坐标大于-1时，纵坐标随横坐标的增大而增大，当顶点的横坐标小于-1时，纵坐标随横坐标的增大而减小．

解答 解：（1）设y=a（x-1）²+2，将（0，3）代入，得a=1，
∴y=（x-1）²+2，即y=x²-2x+3，
∴a=1，b=-2，c=3；
（2）①当k=1时，y=-x²+4x-1，令y=0，-x²+4x-1=0，解得x=2±$\sqrt{3}$，即图象与x轴的交点坐标（2+$\sqrt{3}$，0），（2-$\sqrt{3}$，0）；
②y=k（2x+2）-（ax²+bx+c）当经x=-1时，y=ax²+bx+c与y=k（2x+2）-（ax²+bx+c）的图象上点M，N，不论k取何值，这两个点始终关于x轴对称，
∴M（-1，6），N（-1，-6），
③y=-$\frac{3}{4}$x+t，经过（-1，6），得t=$\frac{21}{4}$，
∴y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{21}{4}$，则A（7，0），
∵ME⊥x轴，
∴E点的横坐标为-1，
∴AE=8，
∵ME=6，
∴MA=10．
如图1，设MD交AE于点B，作BC⊥AM于点C，

∵MD平分∠NMP，ME⊥x轴，
∴BC=BE，设BC=x，则AB=8-x，显然△ABC∽△AME，
∴$\frac{x}{8-x}$=$\frac{3}{5}$，则x=3．得点B（2，0），
∴MD的函数表达式为y=-2x+4．
∵y=ax²+bx+c与y=k（2x+2）-（ax²+bx+c）=-[x-（k+1）]²+（k+1）²+2k-3．
把D（k+1，k²+2k+1+2k-3），代入y=-2x+4．得k=-3±$\sqrt{13}$，
由y=k（2x+2）-（ax²+bx+c）有意义可得k=-3+$\sqrt{13}$，
④是．
当顶点的横坐标大于-1时，纵坐标随横坐标的增大而增大，
当顶点的横坐标小于-1时，纵坐标随横坐标的增大而减小．

点评 本题主要考查了二次函数，涉及二次函数的解析式的求法，一次函数的知识及相似三角形，解题的关键是把二次函数图象与其它函数图象相结合解决问题．