Question

14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB=6，动点D从点A出发沿AB以每秒$\sqrt{2}$个单位的速度向点B运动，到达点B时停止运动，过点D作AB的垂线交折线AC-BC于点E，以DE为边向下作正方形DEFG，点G在AB上，正方形DEFG与△ABC重叠部分的面积为y，动点D运动的时间为t．
（1）求AB的长；
（2）当t为何值时，点E落在点C？当t为何值时，点F落在BC上？
（3）当E在线段AC上时，求DF的长（用含t的式子表示）；
（4）求y与t的函数关系式．

Answer 1

分析 （1）利用勾股定理求得AB的长即可；
（2）当点E落在点C处时，由等腰三角形三线合一的性质即可求得t的取值范围；根据等腰直角三角形的性质和正方形的性质进行证明即可；
（3）根据△ADE是等腰直角三角形以及勾股定理进行解答即可；
（4）如图2所示，重合部分的面积=正方形的面积；如图3所示，重合部分的面积=正方形的面积-三角形的面积．

解答 解：（1）由勾股定理得AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{6}^{2}}$=6$\sqrt{2}$；
（2）当点E与点C重合时，
∵DE⊥AB，AC=CB，
∴AD=BD．
∴AD=$\frac{1}{2}$AB=3$\sqrt{2}$．
∴t=3．
当点F落在BC上时，如图1所示．

∵△AED和△BGF为等腰直角三角形，四边形DEFG为正方形，
∴AD=DG=GB．
∴t=$\frac{1}{3}$AB=2$\sqrt{2}$．
（3）根据题意可知：△AED为等腰直角三角形，四边形DEFG为正方形．
∴DE=EF=AD=t．
在△DEF中，由勾股定理可知：DF=$\sqrt{D{E}^{2}+E{F}^{2}}$=$\sqrt{{t}^{2}+{t}^{2}}$=$\sqrt{2}t$．
（4）如图2所示：

重合部分的面积=正方形DEFG的面积．
∴y=t²（0＜t＜$\frac{2\sqrt{6}}{3}$）．
如图3所示；

∵△ADE为等腰直角三角形，
∴AD=ED=t．
∴AE=$\sqrt{A{D}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{2}t$．
∴EC=6-$\sqrt{2}t$．
根据题意可知△ECM为等腰直角三角形，
∴CM=EC=6-$\sqrt{2}t$．
在△CEM中，由勾股定理得：ME=$\sqrt{C{E}^{2}+C{M}^{2}}$=6$\sqrt{2}$-2t．
∴MF=EF-EM=t-（6$\sqrt{2}$-2t）=3t-6$\sqrt{2}$．
∴△MNF的面积=$\frac{1}{2}MF•FN=\frac{1}{2}×（3t-6\sqrt{2}）^{2}$．
∵重合部分的面积=正方形的面积-△FMN的面积，
∴y=${t}^{2}-\frac{1}{2}（3t-6\sqrt{2}）^{2}$=$-\frac{7}{2}{t}^{2}+18\sqrt{2}t-36$．
综上所述，y与t的函数关系式为y=$\left\{\begin{array}{l}{{t}^{2}（0＜t＜\frac{2\sqrt{6}}{3}）}\\{-\frac{7}{2}{t}^{2}+18\sqrt{2}t-36（\frac{2\sqrt{6}}{3}＜t＜6）}\end{array}\right.$．

点评 本题主要考查的是正方形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理的应用，根据题意画出符合题意的图形是解题的关键．