Question

12．如图，AB是⊙O的直径，点P是AB下方的半圆上不与点A，B重合的一个动点，点C为AP中点，延长CO交⊙O于点D，连接AD，过点D作⊙O的切线交PB的廷长线于点E，连CE交AB于点F，连接DF．
（1）求证：△DAC≌△ECP；
（2）填空：
①四边形ACED是何种特殊的四边形？
②在点P运动过程中，线段DF、AP的数量关系是DF=$\frac{1}{2}$AP．

Answer 1

分析 （1）先由切线的性质得到∠CDE=90°，再利用垂径定理的推理得到DC⊥AP，接着根据圆周角定理得到∠APB=90°，于是可判断四边形DEPC为矩形，所以DC=EP，然后根据“SAS”判断△DAC≌△ECP；
（2）①根据全等三角形的性质得到AD=CE，∠DAC=∠ECP，根据平行线的判定得到AD∥CE，于是得到结论；②根据等腰三角形的性质得到∠DAO=∠ADO，根据平行线的性质得到∠ADO=∠DCF，等量代换得到∠DAO=∠DCF，推出A，C，F，D四点共圆，于是得到$\widehat{AC}$=$\widehat{DF}$，求得AC=DF，等量代换即可得到结论．

解答 （1）证明：∵DE为切线，
∴OD⊥DE，
∴∠CDE=90°，
∵点C为AP的中点，
∴DC⊥AP，
∴∠DCA=∠DCP=90°，
∵AB是⊙O直径，
∴∠APB=90°，
∴四边形DEPC为矩形，
∴DC=EP，
在△DAC和△ECP中
$\left\{\begin{array}{l}{AC=PC}\\{∠ACD=∠CPE}\\{DC=EP}\end{array}\right.$，
∴△DAC≌△ECP；

（2）①∵△DAC≌△ECP，
∴AD=CE，∠DAC=∠ECP，
∴AD∥CE，
∴四边形ACED是平行四边形；
②∵OA=OD，
∴∠DAO=∠ADO，
∵AD∥CE，
∴∠ADO=∠DCF，
∴∠DAO=∠DCF，
∴A，C，F，D四点共圆，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{DF}$，
∴AC=DF，
∵AC=$\frac{1}{2}$AP，
∴DF=$\frac{1}{2}$AP，
故答案为：DF=$\frac{1}{2}$AP．

点评 本题考查了切线的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，四点共圆，熟练掌握切线的性质是解题的关键．