Question

5．如图①、图②、图③，在平面直角坐标系中，抛物线y=a（x-1）²+2-a与抛物线y=（a-2）（x-1）²+a分别与y轴交于点A、B，与对称轴x=1交于点C、D．作点A关于直线x=1的对称点A′，连接AA′，以AB、AA′为边作矩形ABEA′．设△ACD与矩形ABEA′重叠部分图形的面积为S．
（1）用含a的代数式表示线段CD的长．
（2）求AB=2AA′时的a值．
（3）当△ACD与矩形ABEA′重叠部分图形为三角形时，求S与a的函数关系式．
（4）作点D关于直线AA′的对称点D′，连接AD、A′D、A′D′、AD′，得到四边形ADA′D′．直接写出四边形ADA′D′与矩形ABEA′同时是正方形时的a值．

Answer 1

分析 （1）由题意C（1，2-a），D（1，a），可得CD=|2-a-a|=|2-2a|=$\left\{\begin{array}{l}{2-2a}&{（a≤1）}\\{2a-1}&{（a＞1）}\end{array}\right.$；
（2）分两种情形①当点A在点B上方时，AB=4-2a，AA′=2．②当点A在点B下方时，AB=2a-4，AA′=2，分别列出方程即可解决问题；
（3）分四种情形①如图1中，当a＜0时，重叠部分是△ADH．②如图2中，当0＜a＜1时，重叠部分是△ACD．③如图3中，当点C在线段BE上时，2a-2=2-a，解得a=$\frac{4}{3}$，当1＜a≤$\frac{4}{3}$时，重叠部分是△ADC．④如图4中，当a＞2时，重叠部分是△ADH，分别求解即可；
（4）分两种情形点B在点A下方时，点B在点A上方时，分别求解即可；

解答 解：（1）由题意C（1，2-a），D（1，a），
∴CD=|2-a-a|=|2-2a|=$\left\{\begin{array}{l}{2-2a}&{（a≤1）}\\{2a-1}&{（a＞1）}\end{array}\right.$．

（2）由题意A（0，2），B（0，2a-2），
①当点A在点B上方时，AB=4-2a，AA′=2，
∴4-2a=4，
∴a=0（不合题意舍弃），
②当点A在点B下方时，AB=2a-4，AA′=2，
∴2a-4=4，
∴a=4，
∴AB=2AA′时的a值为4．

（3）①如图1中，当a＜0时，重叠部分是△ADH，S=$\frac{1}{2}$•DH•AH=$\frac{1}{2}$•（2-a）=1-$\frac{1}{2}$a．

②如图2中，当0＜a＜1时，重叠部分是△ACD，S=$\frac{1}{2}$•CD•AH=$\frac{1}{2}$（2-2a）=1-a．

③如图3中，当点C在线段BE上时，2a-2=2-a，解得a=$\frac{4}{3}$，
∴当1＜a≤$\frac{4}{3}$时，重叠部分是△ADC，S=$\frac{1}{2}$•CD•AH=$\frac{1}{2}$（2a-2）=a-1．

④如图4中，当a＞2时，重叠部分是△ADH，S=$\frac{1}{2}$•DH•AH=$\frac{1}{2}$（a-2）=$\frac{1}{2}$a-1．


（4）①如图5中，当点B与原点重合时，2a-2=0，即a=1时，满足条件．

②如图6中，当AB=2，即2a-2=4，解得a=3时，满足条件．

综上所述，四边形ADA′D′与矩形ABEA′同时是正方形时的a值为1或3．

点评 本题考查二次函数综合题、三角形的面积、正方形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论是思想思考问题，学会构建方程解决问题，属于中考压轴题．