Question

20．已知反比例函数y=$\frac{-k}{x}$（k≠0）的图象上有点A（1，-k）和B（-1，k），点C（-$\frac{1}{2}$，n）在直线y=k（x+$\frac{7}{4}$）上，
且AC=5BC，求当y＜2时x的取值范围．

Answer 1

分析 根据点C（-$\frac{1}{2}$，n）在直线y=k（x+$\frac{7}{4}$）上，得到n=$\frac{5}{4}$k，求得点C（-$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{4}$k），根据两点间的距离公式得到AC=$\sqrt{（1+\frac{1}{2}）^{2}+（-k-\frac{5}{4}）^{2}}$=$\sqrt{\frac{9}{4}+（\frac{9}{4}k）^{2}}$，BC=$\sqrt{（-1+\frac{1}{2}）^{2}+（k-\frac{5}{4}k）^{2}}$=$\sqrt{\frac{1}{4}+（\frac{1}{4}k）^{2}}$，于是得到k²=$\frac{8}{7}$，①当k=-$\sqrt{\frac{8}{7}}$时，②当k=$\sqrt{\frac{8}{7}}$时，解不等式组即可得到结论．

解答 解：∵点C（-$\frac{1}{2}$，n）在直线y=k（x+$\frac{7}{4}$）上，
∴n=$\frac{5}{4}$k，
∴点C（-$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{4}$k），
∵点A（1，-k）和B（-1，k），
∴AC=$\sqrt{（1+\frac{1}{2}）^{2}+（-k-\frac{5}{4}）^{2}}$=$\sqrt{\frac{9}{4}+（\frac{9}{4}k）^{2}}$，BC=$\sqrt{（-1+\frac{1}{2}）^{2}+（k-\frac{5}{4}k）^{2}}$=$\sqrt{\frac{1}{4}+（\frac{1}{4}k）^{2}}$，
∵AC=5BC，
∴k²=$\frac{8}{7}$，
①当k=-$\sqrt{\frac{8}{7}}$时，y=-$\frac{\sqrt{\frac{8}{7}}}{x}$＜2，
解得：x＞$\frac{\sqrt{14}}{7}$，
②当k=$\sqrt{\frac{8}{7}}$时，y=-$\frac{\sqrt{\frac{8}{7}}}{x}$＜2，
解得：x＜-$\frac{\sqrt{14}}{7}$，
综上所述：当y＜2时，x的取值范围为x＞$\frac{\sqrt{14}}{7}$或x＜-$\frac{\sqrt{14}}{7}$．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，两点间的距离公式，正确的理解题意是解题的关键．