Question

3．如图，D是线段AB的中点，C是线段AB的垂直平分线上的一点，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F．
（1）求证：DE=DF；
（2）当CD与AB满足怎样的数量关系时，四边形CEDF为正方形？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由CD垂直平分线AB，可得AC=CB，得出∠ACD=∠BCD，再由∠EDC=∠FDC=90°，可证得△ACD≌△BCD，得出CE=CF即可；
（2）先证明四边形CEDF是矩形，再证出因此AB=2CD时，四边形CEDF为正方形．

解答 （1）证明：∵CD垂直平分AB，
∴AC=CB．
∴△ABC是等腰三角形，
∵CD⊥AB，
∴∠ACD=∠BCD．
∵DE⊥AC，DF⊥BC，
∴∠DEC=∠DFC=90°
∴∠EDC=∠FDC，
在△DEC与△DFC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ACD=∠BCD}&{\;}\\{CD=CD}&{\;}\\{∠EDC=∠FDC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△DEC≌△DFC（ASA），
∴DE=DF；
（2）解：当AB=2CD时，四边形CEDF为正方形．理由如下：
∵AD=BD，AB=2CD，
∴AD=BD=CD．
∴∠ACD=45°，∠DCB=45°，
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=90°，
∴四边形DECF是矩形．
又∵DE=DF，
∴四边形CEDF是正方形．

点评 此题主要考查线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定及性质、正方形的判定、矩形的判定等知识点；熟练掌握正方形的判定，证明三角形全等是解决问题（1）的关键．