Question

4．已知（2-a）（3-a）=5．
（1）求（a-2）²+（3-a）²的值；
（2）求a²+a^-2的值；
（3）求$\frac{3{a}^{2}+3}{{a}^{4}-4{a}^{3}+4}$的值．

Answer 1

分析 （1）根据（a-2）²+（3-a）²=[（a-2）+（3-a）]²-2（a-2）（3-a），结合已知条件代入即可解决问题．
（2）根据条件先求出a+a^-1=5，再利用完全平方公式计算即可．
（3）分子分母利用a²=5a-1，进行降幂，即可解决问题．

解答 解：（1）∵（2-a）（3-a）=5，
∴（a-2）²+（3-a）²=[（a-2）+（3-a）]²-2（a-2）（3-a）
=1-2×5
=-9；

（2）∵（2-a）（3-a）=5，
∴6-2a-3a+a²=5，
∴a²-5a=-1，
∴a+a^-1=5，
∴（a+a^-1）²=25，
∴a²+2+a^-2=25，
∴a²+a^-2=23．

（3）∵a²=5a-1，
∴原式=$\frac{3（5a-1）+3}{（5a-1）^{2}-4a（5a-1）+4}$=$\frac{15a}{25{a}^{2}-10a+1-20{a}^{2}+4a+4}$=$\frac{15a}{5{a}^{2}-6a+5}$=$\frac{15a}{5（5a-1）-6a+5}$=$\frac{15a}{19a}$=$\frac{15}{19}$．

点评 本题考查整式的混合运算、乘法公式等知识，解题的关键是灵活运用公式，学会把多项式降幂处理，属于中考常考题型．