Question

12．已知a${\;}^{\frac{2}{3}}$+b${\;}^{\frac{2}{3}}$=4，x=a+3a${\;}^{\frac{1}{3}}$b${\;}^{\frac{2}{3}}$，y=b+3a${\;}^{\frac{2}{3}}$b${\;}^{\frac{1}{3}}$，求（x+y）${\;}^{\frac{2}{3}}$+（x-y）${\;}^{\frac{2}{3}}$．

Answer 1

分析 可设a${\;}^{\frac{1}{3}}$=m，b${\;}^{\frac{1}{3}}$=n，可得m²+n²=4，x=m³+3mn²，y=n³+3m²n，将（x+y）${\;}^{\frac{2}{3}}$+（x-y）${\;}^{\frac{2}{3}}$变形为2（m²+n²），再代入计算即可求解．

解答 解：设a${\;}^{\frac{1}{3}}$=m，b${\;}^{\frac{1}{3}}$=n，则
∵a${\;}^{\frac{2}{3}}$+b${\;}^{\frac{2}{3}}$=4，x=a+3a${\;}^{\frac{1}{3}}$b${\;}^{\frac{2}{3}}$，y=b+3a${\;}^{\frac{2}{3}}$b${\;}^{\frac{1}{3}}$，
∴m²+n²=4，x=m³+3mn²，y=n³+3m²n，
∴（x+y）${\;}^{\frac{2}{3}}$+（x-y）${\;}^{\frac{2}{3}}$
=（m³+3mn²+n³+3m²n）${\;}^{\frac{2}{3}}$+（m³+3mn²-n³-3m²n）${\;}^{\frac{2}{3}}$
=[（m+n）³]${\;}^{\frac{2}{3}}$+[（m-n）³]${\;}^{\frac{2}{3}}$
=（m+n）²+（m-n）²
=m²+2mn+n²+m²-2mn+n²
=2（m²+n²）
=2×4
=8．

点评 此题考查了分数指数幂，本题采用换元法，将（x+y）${\;}^{\frac{2}{3}}$+（x-y）${\;}^{\frac{2}{3}}$变形为2（m²+n²）是解题的关键．