Question

19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tanB=$\frac{4}{3}$，点D，E分别在边AB，AC上，DE⊥AC，DE=6，DB=20，则tan∠BCD的值是$\frac{8}{3}$．

Answer 1

分析 由于∠ACB=90°，DE⊥AC可判断DE∥BC，根据平行线的性质得∠ADE=∠B，∠BCD=∠CDE，在Rt△ADE中，利用正切的定义可计算出AE=8，则利用勾股定理可计算出AD=10，接着运用平行线分线段成比例定理计算出CE=16，然后在Rt△CDE中，根据正切的定义得到tan∠CDE=$\frac{CE}{DE}$=$\frac{8}{3}$，于是得到tan∠BCD=$\frac{8}{3}$．

解答 解：∵∠ACB=90°，DE⊥AC，
∴DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，∠BCD=∠CDE，
在Rt△ADE中，∵tan∠ADE=$\frac{AE}{DE}$=$\frac{4}{3}$，
∴AE=$\frac{4}{3}$×6=8，
∴AD=$\sqrt{A{E}^{2}+D{E}^{2}}$=10，
∵DE∥BC，
∴$\frac{AE}{CE}$=$\frac{AD}{BD}$，即$\frac{8}{CE}$=$\frac{10}{20}$，解得CE=16，
在Rt△CDE中，tan∠CDE=$\frac{CE}{DE}$=$\frac{16}{6}$=$\frac{8}{3}$，
∴tan∠BCD=$\frac{8}{3}$．
故答案为$\frac{8}{3}$．

点评 本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了平行线分线段成比例定理．