Question

8．计算：
$\frac{\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2}}$+$\frac{\frac{1}{3}}{（1+\frac{1}{2}）（1+\frac{1}{3}）}$+$\frac{\frac{1}{4}}{（1+\frac{1}{2}）（1+\frac{1}{3}）（1+\frac{1}{4}）}$+…+$\frac{\frac{1}{1999}}{（1+\frac{1}{2}）（1+\frac{1}{3}）（1+\frac{1}{4}）+…+（1+\frac{1}{1999}）}$．

Answer 1

分析 原式括号中两项通分并利用同分母分数的加法法则计算，约分整理后将各自的分母求和，利用拆项法变形后，计算即可得到结果．

解答 解：原式=$\frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}}$+$\frac{\frac{1}{3}}{\frac{3}{2}×\frac{4}{3}}$+$\frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{2}×\frac{4}{3}×\frac{5}{4}}$+…+$\frac{\frac{1}{1999}}{\frac{3}{2}×\frac{4}{3}×\frac{5}{4}×…×\frac{2000}{1999}}$
=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{10}$+…+$\frac{1}{1999000}$
=$\frac{1}{1+2}$+$\frac{1}{1+2+3}$+$\frac{1}{1+2+3+4}$+$\frac{1}{1+2+3+4+5}$+…+$\frac{1}{1+2+…+1999}$
=$\frac{2}{1×2}$+$\frac{2}{2×3}$+$\frac{2}{3×4}$+$\frac{2}{4×5}$+…+$\frac{2}{1998×1999}$
=2×（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{1998}$-$\frac{1}{1999}$）
=2×（1-$\frac{1}{1999}$）
=2×$\frac{1998}{1999}$
=$\frac{3996}{1999}$．

点评 此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．