Question

已知，如图，O为正方形对角线的交点，BE平分∠DBC，交DC于点E，延长BC到点F，使CF=CE，连结DF，交BE的延长线于点G，连结OG．

（1）求证：△BCE≌△DCF．

（2）判断OG与BF有什么关系，证明你的结论．

（3）若DF²=8﹣4，求正方形ABCD的面积？

Answer 1

【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．

【分析】（1）利用正方形的性质，由全等三角形的判定定理SAS即可证得△BCE≌△DCF；

（2）首先证明△BDG≌△BGF，从而得到OG是△DBF的中位线，即可得出答案；

（3）设BC=x，则DC=x，BD=x，由△BGD≌△BGF，得出BF=BD，CF=（﹣1）x，利用勾股定理DF²=DC²+CF²，解得x²=2，即正方形ABCD的面积是2．

【解答】解：（1）证明：在△BCE和△DCF中，

，

∴△BCE≌△DCF（SAS）；

（2）OG∥BF且OG=BF，

理由：如图，

∵BE平分∠DBC，

∴∠2=∠3，

在△BGD和△BGF中，

，

∴△BGD≌△BGF（ASA），

∴DG=GF，

∵O为正方形ABCD的中心，

∴DO=OB，

∴OG是△DBF的中位线，

∴OG∥BF且OG=BF；

（3）设BC=x，则DC=x，BD=x，由（2）知△BGD≌△BGF，

∴BF=BD，

∴CF=（﹣1）x，

∵DF²=DC²+CF²，

∴x²+[（﹣1）x]²=8﹣4，解得x²=2，

∴正方形ABCD的面积是2．