Question

13．如图，AD∥BC，AB⊥BC，DC平分∠ADC，且E是AB的中点，问，AD，BC与CD之间有何数量关系？请证明你的结论．

Answer 1

分析 首先要作辅助线，连接CE，作EF⊥CD，根据角平分线性质求出AE=EF=BE，然后证△FDE≌△ADE及△FCE≌△BCE，推出AD=DF及BC=CF，即可得出答案．

解答 解：AD+BC=CD，
理由是：连接CE，作EF⊥CD，
∵AB⊥BC，AD∥BC，
∴AB⊥AD，
∵DE平分∠ADC，
∴EF=ED，
∵E为DC中点，
∴CE=BE，
∴EF=BE，
∵AB⊥BC，
∴∠B=90°=∠CFE，
在Rt△CFE和Rt△CBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BE=EF}\\{CE=CE}\end{array}\right.$，
∴Rt△CFE≌Rt△CBE（HL），
∴BC=CF，
同理可证Rt△ADE≌Rt△FDE（HL），
∴AD=DF
∵DF+CF=CD，
∴AD+BC=CD．

点评 本题考查了角平分线性质以及全等三角形的性质和判定的应用，熟悉角平分线性质是解决问题的关键．